The Impulsive Coupled Langevin ψ-Caputo Fractional Problem with Slit-Strip-Generalized-Type Boundary Conditions

Abstract

In this paper, the existence of a unique solution is established for a coupled system of Langevin fractional problems of $\mathsf{\psi }$-Caputo fractional derivatives with generalized slit-strip-type integral boundary conditions and impulses using the Banach contraction principle. We also find at least one solution to the aforementioned system using some assumptions and Schaefer’s fixed point theorem. After that, Ulam–Hyers stability is discussed. Finally, to provide additional support for the main results, pertinent examples are presented.

1. Introduction

Higher-order derivatives and n-fold integrals in ordinary calculus are considered only for the particular case when the order belongs to a set of natural numbers. Integrations and derivatives of any real number $\mathsf{\alpha }>0$ are discussed in fractional calculus, in which the ordinary definitions of derivatives and integrals are considered as special cases, i.e., for when $\mathsf{\alpha }$ belongs to a set of natural numbers. Fractional calculus has become increasingly significant owing to its wide-ranging uses in science. In the literature, there are more precise and mathematical representations of a range of phenomena modeled with the help of fractional derivatives [1,2,3]. Among the different qualitative properties of Fractional Differential Equations (FDEs), researchers investigated the existence of unique solutions to and stability analyses of FDEs under different conditions [4,5,6,7,8].

The Langevin equation is a great method for describing phenomena related to Brownian motion, and it may be used to successfully describe processes by economists, engineers, doctors, and other professionals. It was discovered that the Langevin equation, which was initially formulated by Langevin in 1908, is a useful tool for accurately describing the evolution of physical processes, including stochastic difficulties in various disciplines, including mechanical and electrical engineering, chemistry, physics, military systems, image processing, and astronomy. When the random oscillation force is assumed to be Gaussian, it is also utilized to characterize Brownian motion. For more details, see other studies [9,10,11]. Coupled system of FDEs are used in a variety of physical and practical models, including those that simulate diseases [12,13], the environment [14], chaotic systems [15], and many more. Ahmad et al. discussed basic applications of slit strip conditions in imaging and acoustics using strip detectors [16,17].

The authors of [18] investigated the existence of a unique solution to the following problem:

$$\left\{\begin{array}{cc}& {}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_{0+}^{\mathsf{\alpha }}\wp \left(\mathsf{\sigma }\right)=\mathrm{f}(\mathsf{\sigma },\wp \left(\mathsf{\sigma }\right),{}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_{0+}^{\mathsf{\beta }}\wp \left(\mathsf{\sigma }\right)),\mathsf{\sigma }\in [0,1],\hfill \\ & {\wp }^{″}\left(0\right)=0,{\wp }^{‴}\left(0\right)=0,\dots ,{\wp }^{\mathrm{n}-2}\left(0\right)=0,\hfill \\ & \wp \left(0\right)+{\wp }^{\prime }\left(0\right)=\mathrm{\chi }(\wp ),{\int }_0^1\wp \left(\mathsf{\sigma }\right)\mathrm{d}\mathsf{\sigma }=\mathrm{m},\hfill \end{array}\right.$$

where ${}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_{0+}^{\mathsf{\alpha }}$ and ${}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_{0+}^{\mathsf{\beta }}$ are Caputo Fractional Derivatives (CFDs) of order $\mathsf{\alpha }$ with $\mathrm{n}-1<\mathsf{\alpha }<\mathrm{n}$$(\mathrm{n}\ge 2)$ and $0<\mathsf{\beta }<1$, respectively. $\mathrm{m}\in \mathbb{R}$ and $\mathrm{f}:[0,1]\times {\mathbb{R}}^2⟶\mathbb{R}$, $\mathsf{\chi }:\mathrm{C}\left(\right[0,1],\mathbb{R})\to \mathbb{R}$ are continuous functions.

A coupled system of nonlinear FDEs was studied by Ahmad et al. [19],

$$\left\{\begin{array}{cccc}& {}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_0^{\mathsf{\alpha }}{\wp }_1\left(\mathsf{\sigma }\right)\hfill & =& {\mathrm{h}}_1(\mathsf{\sigma },{\wp }_1\left(\mathsf{\sigma }\right),{\wp }_2\left(\mathsf{\sigma }\right)),\mathsf{\sigma }\in [0,1],1<\mathsf{\alpha }\le 2,\hfill \\ & {}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_0^{\mathsf{\beta }}{\wp }_2\left(\mathsf{\sigma }\right)\hfill & =& {\mathrm{h}}_2(\mathsf{\sigma },{\wp }_1\left(\mathsf{\sigma }\right),{\wp }_2\left(\mathsf{\sigma }\right)),\mathsf{\sigma }\in [0,1],1<\mathsf{\beta }\le 2,\hfill \end{array}\right.$$

with the coupled and uncoupled boundary conditions of the type:

$$\begin{array}{cc}& {\wp }_1\left(0\right)=0,{\wp }_1\left(\mathsf{\nu }\right)={\mathrm{d}}_1{\int }_0^{\mathsf{\mu }}{\wp }_2\left(\mathrm{s}\right)\mathrm{d}\mathrm{s}+{\mathrm{d}}_2{\int }_{{\mathsf{\nu }}_1}^1{\wp }_2\left(\mathrm{s}\right)\mathrm{d}\mathrm{s},0<\mathsf{\mu }<\mathsf{\nu }<{\mathsf{\nu }}_1<1,\\ & {\wp }_2\left(0\right)=0,{\wp }_2\left(\mathsf{\nu }\right)={\mathrm{d}}_1{\int }_0^{\mathsf{\mu }}{\wp }_1\left(\mathrm{s}\right)\mathrm{d}\mathrm{s}+{\mathrm{d}}_2{\int }_{{\mathsf{\nu }}_1}^1{\wp }_1\left(\mathrm{s}\right)\mathrm{d}\mathrm{s},0<\mathsf{\mu }<\mathsf{\nu }<{\mathsf{\nu }}_1<1,\\ & {\wp }_1\left(0\right)=0,{\wp }_1\left(\mathsf{\nu }\right)={\mathrm{d}}_1{\int }_0^{\mathsf{\mu }}{\wp }_1\left(\mathrm{s}\right)\mathrm{d}\mathrm{s}+{\mathrm{d}}_2{\int }_{{\mathsf{\nu }}_1}^1{\wp }_1\left(\mathrm{s}\right)\mathrm{d}\mathrm{s},0<\mathsf{\mu }<\mathsf{\nu }<{\mathsf{\nu }}_1<1,\\ & {\wp }_2\left(0\right)=0,{\wp }_2\left(\mathsf{\nu }\right)={\mathrm{d}}_1{\int }_0^{\mathsf{\mu }}{\wp }_2\left(\mathrm{s}\right)\mathrm{d}\mathrm{s}+{\mathrm{d}}_2{\int }_{{\mathsf{\nu }}_1}^1{\wp }_2\left(\mathrm{s}\right)\mathrm{d}\mathrm{s},0<\mathsf{\mu }<\mathsf{\nu }<{\mathsf{\nu }}_1<1,\end{array}$$

where ${}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_0^{\mathsf{\alpha }}$ and ${}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_0^{\mathsf{\beta }}$ are CFDs of order $\mathsf{\alpha }$, $\mathsf{\beta }$, respectively. ${\mathrm{h}}_1,{\mathrm{h}}_2:[0,1]\times {\mathbb{R}}^2⟶\mathbb{R}$ are given continuous functions and ${\mathrm{d}}_1,{\mathrm{d}}_2\in \mathbb{R}$.

A coupled system of hybrid nonlinear FDEs was investigated by Ahmad et al. [20].

$$\begin{array}{cc}& {}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_0^{\mathsf{\alpha }}[{\wp }_1\left(\mathsf{\sigma }\right)-{\mathrm{h}}_1(\mathsf{\sigma },{\wp }_1\left(\mathsf{\sigma }\right),{\wp }_2\left(\mathsf{\sigma }\right))]={\mathsf{\theta }}_1(\mathsf{\sigma },{\wp }_1\left(\mathsf{\sigma }\right),{\wp }_2\left(\mathsf{\sigma }\right)),\mathsf{\sigma }\in [0,1],1<\mathsf{\alpha }\le 2,\\ & {}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_0^{\mathsf{\beta }}[{\wp }_2\left(\mathsf{\sigma }\right)-{\mathrm{h}}_2(\mathsf{\sigma },{\wp }_1\left(\mathsf{\sigma }\right),{\wp }_2\left(\mathsf{\sigma }\right))]={\mathsf{\theta }}_2(\mathsf{\sigma },{\wp }_1\left(\mathsf{\sigma }\right),{\wp }_2\left(\mathsf{\sigma }\right)),\mathsf{\sigma }\in [0,1],1<\mathsf{\beta }\le 2,\end{array}$$

with coupled slit-strip-type integral boundary conditions:

$$\begin{array}{cc}& {\wp }_1\left(0\right)=0,{\wp }_1\left(\mathsf{\mu }\right)={\mathrm{d}}_1{\int }_0^{{\mathsf{\nu }}_1}{\wp }_2\left(\mathrm{s}\right)\mathrm{d}\mathrm{s}+{\mathrm{d}}_2{\int }_{{\mathsf{\nu }}_2}^1{\wp }_2\left(\mathrm{s}\right)\mathrm{d}\mathrm{s},0<{\mathsf{\nu }}_1<\mathsf{\mu }<{\mathsf{\nu }}_2<1,\\ & {\wp }_2\left(0\right)=0,{\wp }_2\left(\mathsf{\mu }\right)={\mathrm{d}}_1{\int }_0^{{\mathsf{\nu }}_1}{\wp }_1\left(\mathrm{s}\right)\mathrm{d}\mathrm{s}+{\mathrm{d}}_2{\int }_{{\mathsf{\nu }}_2}^1{\wp }_1\left(\mathrm{s}\right)\mathrm{d}\mathrm{s},0<{\mathsf{\nu }}_1<\mathsf{\mu }<{\mathsf{\nu }}_2<1,\end{array}$$

where ${}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_0^{\mathsf{\alpha }}$ with order $\mathsf{\alpha }$ and ${}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_0^{\mathsf{\beta }}$ with order $\mathsf{\beta }$ are CFDs. ${\mathsf{\theta }}_{\mathrm{i}},{\mathrm{h}}_{\mathrm{i}}:[0,1]\times {\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ are continuous functions such that ${\mathrm{h}}_{\mathrm{i}}(0,{\Im }_1\left(0\right),{\Im }_2\left(0\right))=0$, $\mathrm{i}=1,2$ and ${\mathrm{d}}_1$, ${\mathrm{d}}_2\in \mathbb{R}$.

In 2022, Zhiwei et al. [21] studied the following coupled system:

$$\begin{array}{c}\hfill \left\{\begin{array}{cc}{}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},\mathsf{\sigma }}^{\mathsf{\alpha };\mathsf{\psi }}[{\wp }_1\left(\mathsf{\sigma }\right)-{\mathrm{h}}_1(\mathsf{\sigma },{\wp }_1\left(\mathsf{\sigma }\right),{}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},\mathsf{\sigma }}^{\mathsf{\alpha };\mathsf{\psi }}{\wp }_1\left(\mathsf{\sigma }\right))]={\mathrm{j}}_1(\mathsf{\sigma },{\wp }_1\left(\mathsf{\sigma }\right),{}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},\mathsf{\sigma }}^{\mathsf{\alpha };\mathsf{\psi }}{\wp }_1\left(\mathsf{\sigma }\right)),\mathsf{\sigma }\in ({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}],\mathrm{k}=0,1,\dots ,\mathrm{p},\hfill & \hfill \\ {}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},\mathsf{\sigma }}^{\mathsf{\beta };\mathsf{\psi }}[{\wp }_2\left(\mathsf{\sigma }\right)-{\mathrm{h}}_2(\mathsf{\sigma },{\wp }_2\left(\mathsf{\sigma }\right),{}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},\mathsf{\sigma }}^{\mathsf{\beta };\mathsf{\psi }}{\wp }_2\left(\mathsf{\sigma }\right))]={\mathrm{j}}_2(\mathsf{\sigma },{\wp }_2\left(\mathsf{\sigma }\right),{}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},\mathsf{\sigma }}^{\mathsf{\beta };\mathsf{\psi }}{\wp }_2\left(\mathsf{\sigma }\right)),\mathsf{\sigma }\in ({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}],\mathrm{k}=0,1,\dots ,\mathrm{p},\hfill & \hfill \\ {\wp }_1\left(0\right)=0,{\wp }_1\left(\mathsf{\eta }\right)={\mathrm{a}}_1{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}}{\wp }_1\left(\mathsf{\sigma }\right)\mathrm{d}\mathsf{\sigma }+{\mathrm{a}}_2{\int }_{{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}}{\wp }_1\left(\mathsf{\sigma }\right)\mathrm{d}\mathsf{\sigma },{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}<{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}<\mathsf{\eta }<{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}<{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1},\hfill & \hfill \\ {\wp }_2\left(0\right)=0,{\wp }_2\left(\mathsf{\eta }\right)={\mathrm{a}}_1{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}}{\wp }_2\left(\mathsf{\sigma }\right)\mathrm{d}\mathsf{\sigma }+{\mathrm{a}}_2{\int }_{{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}}{\wp }_2\left(\mathsf{\sigma }\right)\mathrm{d}\mathsf{\sigma },{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}<{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}<\mathsf{\eta }<{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}<{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1},\hfill & \hfill \\ \mathsf{\Delta }{\wp }_1\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right)={\wp }_1\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}^{+}\right)-{\wp }_1\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}^{-}\right)={\mathrm{I}}_{\mathrm{k}}\left({\wp }_1\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right)\right),\mathsf{\Delta }{\wp }_1^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right)={\wp }_1^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}^{+}\right)-{\wp }_1^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}^{-}\right)={\mathrm{J}}_{\mathrm{k}}\left({\wp }_1\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right)\right),\mathrm{k}=1,2,\dots ,\mathrm{p},\hfill & \hfill \\ \mathsf{\Delta }{\wp }_2\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right)={\wp }_2\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}^{+}\right)-{\wp }_2\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}^{-}\right)={\mathrm{I}}_{\mathrm{k}}^{*}\left({\wp }_2\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right)\right),\mathsf{\Delta }{\wp }_2^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right)={\wp }_2^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}^{+}\right)-{\wp }_2^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}^{-}\right)={\mathrm{J}}_{\mathrm{k}}^{*}\left({\wp }_2\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right)\right),\mathrm{k}=1,2,\dots ,\mathrm{p},\hfill & \hfill \end{array}\right.\end{array}$$

where ${}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},\mathsf{\sigma }}^{\mathsf{\alpha };\mathsf{\psi }}$ and ${}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},\mathsf{\sigma }}^{\mathsf{\beta };\mathsf{\psi }}$ denote the $\mathsf{\psi }$-CFD of order $\mathsf{\alpha },\mathsf{\beta }\in (1,2]$, and $\mathcal{J}=[0,R]$ with $R>0$, ${\mathrm{h}}_1,{\mathrm{j}}_1,{\mathrm{h}}_2,{\mathrm{j}}_2:\mathcal{J}\times \mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ are given continuous functions with ${\mathrm{h}}_1(0,{\wp }_1\left(0\right),{}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},\mathsf{\sigma }}^{\mathsf{\alpha };\mathsf{\psi }}{\wp }_1\left(0\right))=0={\mathrm{h}}_2(0,{\wp }_2\left(0\right),{}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},\mathsf{\sigma }}^{\mathsf{\beta };\mathsf{\psi }}{\wp }_2\left(0\right))$ and ${\mathrm{a}}_{\mathrm{i}}$ are real constants for $\mathrm{i}=1,2$.

In [22], Almaghamsi et al. investigated the following system:

$$\begin{array}{c}\hfill {}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}^{{\mathsf{\gamma }}_{\mathrm{i}},\mathsf{\mu }}({}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}^{{\sigma }_{\mathrm{i}},\mathsf{\mu }}+{\mathsf{\alpha }}_{\mathrm{i}}){\mathsf{\phi }}_{\mathrm{i}}\left(\mathrm{t}\right)={\mathsf{\Xi }}_{\mathrm{i}}(\mathrm{t},{\mathsf{\phi }}_1\left(\mathrm{t}\right),{\mathsf{\phi }}_2\left(\mathrm{t}\right)),\mathrm{t}\in [\mathrm{a},\mathrm{b}],\mathrm{i}=1,2.\end{array}$$

with boundary conditions

$$\begin{array}{c}\hfill {\mathsf{\phi }}_{\mathrm{i}}\left(\mathrm{a}\right)=0,{\mathrm{I}}^{{\mathsf{\vartheta }}_{\mathrm{i}},\mathsf{\mu }}{\mathsf{\phi }}_{\mathrm{i}}\left(\mathrm{b}\right)=0,\\ \hfill {}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}^{{\sigma }_1,\mathsf{\mu }}{\mathsf{\phi }}_1\left(\mathrm{a}\right)=\mathrm{\kappa }{\int }_{\mathrm{a}}^{\mathsf{\zeta }}{\mathsf{\phi }}_2\left(\mathrm{s}\right)\mathrm{d}\mathrm{s}.\end{array}$$

where for $\mathrm{i}=1,2,{}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}^{{\mathsf{\gamma }}_{\mathrm{i}},\mathsf{\mu }}$ and ${}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}^{{\sigma }_{\mathrm{i}},\mathsf{\mu }}$ are $\mathsf{\mu }$- CFD, $0<{\sigma }_{\mathrm{i}},{\mathsf{\gamma }}_2<1$, $1<{\mathsf{\gamma }}_1\le 2$, ${\mathsf{\alpha }}_{\mathrm{i}},\mathrm{\kappa }\in \mathbb{R}$.

In this paper, we investigate the coupled system of Langevin fractional problems of $\mathsf{\psi }$-CFDs with generalized slit-strip-type integral boundary conditions and impulses:

$$\begin{array}{c}\hfill \left\{\begin{array}{cc}{}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},\mathsf{\sigma }}^{{\mathsf{\gamma }}_1;\mathsf{\psi }}({}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},\mathsf{\sigma }}^{{\mathsf{\beta }}_1;\mathsf{\psi }}+{\mathsf{\alpha }}_1)\wp \left(\mathsf{\sigma }\right)={\mathrm{F}}_1(\mathsf{\sigma },\wp \left(\mathsf{\sigma }\right),\Im \left(\mathsf{\sigma }\right)),\mathsf{\sigma }\in ({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}],\mathrm{k}=0,1,\dots ,\mathrm{p},\hfill & \hfill \\ {}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},\mathsf{\sigma }}^{{\mathsf{\gamma }}_2;\mathsf{\psi }}({}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},\mathsf{\sigma }}^{{\mathsf{\beta }}_2;\mathsf{\psi }}+{\mathsf{\alpha }}_2)\Im \left(\mathrm{t}\right)={\mathrm{F}}_2(\mathsf{\sigma },\wp \left(\mathsf{\sigma }\right),\Im \left(\mathsf{\sigma }\right)),\mathsf{\sigma }\in ({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}],\mathrm{k}=0,1,\dots ,\mathrm{p},\hfill & \hfill \\ \wp \left(0\right)=0,\wp \left(\mathsf{\eta }\right)={\mathrm{a}}_1{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}}\wp \left(\mathsf{\tau }\right)\mathrm{d}\mathsf{\tau }+{\mathrm{a}}_2{\int }_{{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}}\wp \left(\mathsf{\tau }\right)\mathrm{d}\mathsf{\tau },{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}<{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}<\mathsf{\eta }<{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}<{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1},\hfill & \hfill \\ \Im \left(0\right)=0,\Im \left(\mathsf{\eta }\right)={\mathrm{a}}_1{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}}\Im \left(\mathsf{\tau }\right)\mathrm{d}\mathsf{\tau }+{\mathrm{a}}_2{\int }_{{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}}\Im \left(\mathsf{\tau }\right)\mathrm{d}\mathsf{\tau },{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}<{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}<\mathsf{\eta }<{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}<{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1},\hfill & \hfill \\ \mathsf{\Delta }\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right)=\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}^{+}\right)-\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}^{-}\right)={\mathrm{I}}_{\mathrm{k}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right)),\mathsf{\Delta }{\wp }^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right)={\wp }^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}^{+}\right)-{\wp }^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}^{-}\right)={\mathrm{J}}_{\mathrm{k}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right)),\mathrm{k}=1,2,\dots ,\mathrm{p},\hfill & \hfill \\ \mathsf{\Delta }\Im \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right)=\Im \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}^{+}\right)-\Im \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}^{-}\right)={\mathrm{I}}_{\mathrm{k}}^{*}(\Im \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right)),\mathsf{\Delta }{\Im }^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right)={\Im }^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}^{+}\right)-{\Im }^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}^{-}\right)={\mathrm{J}}_{\mathrm{k}}^{*}(\Im \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right)),\mathrm{k}=1,2,\dots ,\mathrm{p},\hfill & \hfill \end{array}\right.\end{array}$$

(1)

where ${}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},\mathsf{\sigma }}^{{\mathsf{\gamma }}_{\mathrm{i}};\mathsf{\psi }}$ and ${}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},\mathsf{\sigma }}^{{\mathsf{\beta }}_{\mathrm{i}};\mathsf{\psi }}$ denote the $\mathsf{\psi }$-CFD with ${\mathsf{\beta }}_{\mathrm{i}}\in (0,1]$, ${\mathsf{\gamma }}_{\mathrm{i}}\in (1,2]$. $\mathrm{J}=[0,\mathrm{T}]$ with $\mathrm{T}>0$, ${\mathrm{F}}_1,{\mathrm{F}}_2:\mathrm{J}\times \mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ are given continuous functions and ${\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2$ are real constants.

The subsequent sections of the paper are structured as follows: Section 2 presents some basic materials relevant to our results. The proof of a lemma that characterizes the solution of our problem is found in Section 3. In Section 4, the Shaefer fixed point theorem and the Banach contraction principle are applied to prove the existence and uniqueness of the problem, while Section 5 presents Ulam–Hyers stability for problem (1) and Section 6 provide examples, demonstrating our findings.

2. Preliminaries and Notations

Several definitions and results from this section are required later.

Definition 1 

([23]). Let $\mathrm{F}:[0,1]\to \mathbb{R}$ be an integrable function and $\mathsf{\psi }:[{\mathrm{a}}_0,{\mathrm{b}}_0]\to \mathbb{R}$ be an increasing and differentiable function such that ${\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathsf{\sigma }\right)\ne 0$ for all $\mathsf{\sigma }\in [{\mathrm{a}}_0,{\mathrm{b}}_0]$. Then, the left-sided $\mathsf{\psi }-$Riemann–Liouville (RL) fractional integral of order $(\mathsf{\alpha }>0)$ is defined by

$${\mathcal{I}}_{{\mathrm{a}}_0+}^{\mathsf{\alpha };\mathsf{\psi }}\mathrm{F}\left(\mathsf{\sigma }\right)=\frac{1}{\mathsf{\Gamma }\left(\mathsf{\alpha }\right)}{\int }_{{\mathrm{a}}_0}^{\mathsf{\sigma }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{\mathsf{\alpha }-1}\mathrm{F}\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r},$$

where Γ denotes the Euler Gamma function.

Definition 2 

([23]). Let F and ψ∈${\mathrm{C}}^{\mathrm{n}}([{\mathrm{a}}_0,{\mathrm{b}}_0],\mathbb{R})$$(\mathrm{n}\in \mathbb{N})$ be functions where $\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)$ is increasing and ${\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathsf{\sigma }\right)\ne 0$ for all $\mathsf{\sigma }\in [{\mathrm{a}}_0,{\mathrm{b}}_0]$. Then, the left-sided ψ-RL fractional derivative of order α of a function F is defined by

$$\begin{array}{ccc}\hfill {\mathcal{D}}_{{\mathrm{a}}_0+}^{\mathsf{\alpha };\mathsf{\psi }}\mathrm{F}\left(\mathsf{\sigma }\right)& =& {\left(\frac{1}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathsf{\sigma }\right)}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathsf{\sigma }}\right)}^{\mathrm{n}}{\mathcal{I}}_{{\mathrm{a}}_0+}^{\mathrm{n}-\mathsf{\alpha };\mathsf{\psi }}\mathrm{F}\left(\mathsf{\sigma }\right)\hfill \\ & =& \frac{1}{\mathsf{\Gamma }(\mathrm{n}-\mathsf{\alpha })}{\left(\frac{1}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathsf{\sigma }\right)}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathsf{\sigma }}\right)}^{\mathrm{n}}{\int }_{{\mathrm{a}}_0}^{\mathsf{\sigma }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{\mathrm{n}-\mathsf{\alpha }-1}\mathrm{F}\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r},\hfill \end{array}$$

where $\mathrm{n}=\left[\mathsf{\alpha }\right]+1$ and $\left[\mathsf{\alpha }\right]$ denotes the integer part of the real number α.

Definition 3 

([23]). Let F and ψ∈${\mathrm{C}}^{\mathrm{n}}([{\mathrm{a}}_0,{\mathrm{b}}_0],\mathbb{R})$$(\mathrm{n}\in \mathbb{N})$ be functions where $\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)$ is increasing and ${\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathsf{\sigma }\right)\ne 0$ for all $\mathsf{\sigma }\in [{\mathrm{a}}_0,{\mathrm{b}}_0]$. Then, the left-sided ψ-CFD of order α$(\mathsf{\alpha }\in (\mathrm{n}-1,\mathrm{n}\left)\right)$ of a function F is defined by

$${}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_{{\mathrm{a}}_0+}^{\mathsf{\alpha };\mathsf{\psi }}\mathrm{F}\left(\mathsf{\sigma }\right)={\mathcal{D}}_{{\mathrm{a}}_0+}^{\mathsf{\alpha };\mathsf{\psi }}[\mathrm{F}\left(\mathsf{\sigma }\right)-\sum _{\mathrm{l}=0}^{\mathrm{n}-1}\frac{{\mathrm{F}}_{\mathsf{\psi }}^{\left[\mathrm{l}\right]\left({\mathrm{a}}_0\right)}}{\mathrm{l}!}{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathrm{a}}_0\right))}^{\mathrm{l}}],$$

where ${\mathrm{F}}_{\mathsf{\psi }}^{\left[\mathrm{l}\right]}\left(\mathsf{\sigma }\right)={(\frac{1}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathsf{\sigma }\right)}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathsf{\sigma }})}^{\mathrm{l}}\mathrm{F}\left(\mathsf{\sigma }\right)$ and $\mathrm{n}=\left[\mathsf{\alpha }\right]+1$ for $\mathsf{\alpha }\notin \mathrm{N}$, $\mathrm{n}=\mathsf{\alpha }$ for $\mathsf{\alpha }\in \mathrm{N}.$

Further, if F∈${\mathrm{C}}^{\mathrm{n}}([{\mathrm{a}}_0,{\mathrm{b}}_0],\mathbb{R})$ and $\mathsf{\alpha }\notin \mathrm{N}$, then

$$\begin{array}{ccc}\hfill {}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_{{\mathrm{a}}_0+}^{\mathsf{\alpha };\mathsf{\psi }}\mathrm{F}\left(\mathsf{\sigma }\right)& =& {\mathcal{I}}_{{\mathrm{a}}_0+}^{\mathrm{n}-\mathsf{\alpha };\mathsf{\psi }}{\left(\frac{1}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathsf{\sigma }\right)}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathsf{\sigma }}\right)}^{\mathrm{n}}\mathrm{F}\left(\mathsf{\sigma }\right)\hfill \\ & =& \frac{1}{\mathsf{\Gamma }(\mathrm{n}-\mathsf{\alpha })}{\int }_{{\mathrm{a}}_0}^{\mathsf{\sigma }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{\mathrm{n}-\mathsf{\alpha }-1}{\mathrm{F}}_{\mathsf{\psi }}^{\left[\mathrm{n}\right]}\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}.\hfill \end{array}$$

Thus, if $\mathsf{\alpha }=\mathrm{n}\in \mathrm{N}$, then ${}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_{{\mathrm{a}}_0+}^{\mathsf{\alpha };\mathsf{\psi }}\mathrm{F}\left(\mathsf{\sigma }\right)$ = ${\mathrm{F}}_{\mathsf{\psi }}^{\left[\mathrm{n}\right]}\left(\mathsf{\sigma }\right)$.

Lemma 1 

([23]). For $\mathsf{\alpha }>0$,

If $\mathrm{F}\in$$\mathrm{C}([{\mathrm{a}}_0,{\mathrm{b}}_0],\mathbb{R})$, then ${}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_{{\mathrm{a}}_0+}^{\mathsf{\alpha };\mathsf{\psi }}{\mathcal{I}}_{{\mathrm{a}}_0+}^{\mathsf{\alpha };\mathsf{\psi }}\mathrm{F}\left(\mathsf{\sigma }\right)=\mathrm{F}\left(\mathsf{\sigma }\right),\mathsf{\sigma }\in [{\mathrm{a}}_0,{\mathrm{b}}_0].$

If F∈${\mathrm{C}}^{\mathrm{n}}([{\mathrm{a}}_0,{\mathrm{b}}_0],\mathbb{R})$, $\mathrm{n}-1<\mathsf{\alpha }<\mathrm{n}$, then

$${\mathcal{I}}_{{\mathrm{a}}_0+}^{\mathsf{\alpha };\mathsf{\psi }}{}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_{{\mathrm{a}}_0+}^{\mathsf{\alpha };\mathsf{\psi }}\mathrm{F}\left(\mathsf{\sigma }\right)=\mathrm{F}\left(\mathsf{\sigma }\right)-\sum _{\mathrm{l}=0}^{\mathrm{n}-1}{\mathrm{c}}_{\mathrm{l}}{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathrm{a}}_0\right))}^{\mathrm{l}},\mathsf{\sigma }\in [{\mathrm{a}}_0,{\mathrm{b}}_0],$$

where ${\mathrm{c}}_{\mathrm{l}}=\frac{{\mathrm{F}}_{\mathsf{\psi }}^{\left[\mathrm{l}\right]\left({\mathrm{a}}_0\right)}}{\mathrm{l}!}.$

Lemma 2 

(Contraction theorem [24]). Let a metric space X be complete and $\mathcal{P}:\mathrm{X}\to \mathrm{X}$ be a contraction on X. Then, $\mathcal{P}$ has unique fixed point.

Lemma 3 

(Arzela–Ascoli theorem [24]). Assume that X is a compact set in ${\mathbb{R}}^{\mathrm{n}}$, $\mathrm{n}\ge 1$. Then, a set $S\subset \mathbf{C}\left(\mathrm{X}\right)$ is relatively compact in $\mathbf{C}\left(\mathrm{X}\right)$ if and only if the functions in S are uniformly bounded and equicontinuous on X.

Lemma 4 

(Schaefer’s fixed point theorem [24]). Let $\mathcal{P}:{\mathrm{X}}^{{}^{\prime }}\times {\mathrm{Y}}^{{}^{\prime }}\to {\mathrm{X}}^{{}^{\prime }}\times {\mathrm{Y}}^{{}^{\prime }}$ be a completely continuous operator. Consider a set $\mathrm{G}\left(\mathcal{P}\right)=\{(\wp ,\Im )\in {\mathrm{X}}^{{}^{\prime }}\times {\mathrm{Y}}^{{}^{\prime }};(\wp ,\Im )=\mathsf{\lambda }\mathcal{P}(\wp ,\Im );0<\mathsf{\lambda }<1\}.$ Then, either $\mathcal{P}$ has at least one fixed point or the set $\mathrm{G}\left(\mathcal{P}\right)$ is unbounded.

3. Main Results

For ${\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\in {\mathcal{J}}_{\mathrm{k}}$ such that $0={\mathsf{\sigma }}_0<{\mathsf{\sigma }}_1<{\mathsf{\sigma }}_2<\dots <{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{p}}=\mathrm{T}$ and $\mathcal{J}={\mathcal{J}}_0\cup {\mathcal{J}}_1\cup \dots \cup {\mathcal{J}}_{\mathrm{p}}$, where ${\mathcal{J}}_0=(0,{\mathsf{\sigma }}_1]$, ${\mathcal{J}}_1=({\mathsf{\sigma }}_1,{\mathsf{\sigma }}_2],\dots$, ${\mathcal{J}}_{\mathrm{p}}=({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{p}},{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{p}+1}]$ and ${\mathcal{J}}^{{}^{\prime }}=\mathcal{J}-\{{\mathsf{\sigma }}_0,{\mathsf{\sigma }}_1,\dots ,{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{p}}\}$, we define the space ${\mathrm{X}}^{{}^{\prime }}=\{\wp :\mathcal{J}\to \mathbb{R}|\wp \in \mathrm{P}\mathrm{C}\left([\mathcal{J},\mathbb{R}]\right),$ such that the right limits $\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}^{+}\right)$, ${\wp }^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}^{+}\right)$ and left limits $\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}^{-}\right)$, ${\wp }^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}^{-}\right)$ exist and $\mathsf{\Delta }\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right)=\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}^{+}\right)-\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}^{-}\right)$, $\mathsf{\Delta }{\wp }^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right)={\wp }^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}^{+}\right)-{\wp }^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}^{-}\right)$, $\mathrm{k}=1,2,\dots ,\mathrm{p}$}. Then, clearly, ${\mathrm{X}}^{{}^{\prime }}$ is a Banach space equipped with the norm $\left|\right|\wp \left(\mathsf{\sigma }\right)\left|\right|={max}_{\mathsf{\sigma }\in \mathcal{J}}|\wp \left(\mathsf{\sigma }\right)|$. Similarly, define the space ${\mathrm{Y}}^{{}^{\prime }}=\{\Im :\mathcal{J}\to \mathbb{R}|\Im \in \mathrm{P}\mathrm{C}\left([\mathcal{J},\mathbb{R}]\right),$ the right limits $\Im \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}^{+}\right)$, ${\Im }^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}^{+}\right)$ and left limits $\Im \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}^{-}\right)$, ${\Im }^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}^{-}\right)$ exist and $\mathsf{\Delta }\Im \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right)=\Im \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}^{+}\right)-\Im \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}^{-}\right)$, $\mathsf{\Delta }{\Im }^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right)={\Im }^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}^{+}\right)-{\Im }^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}^{-}\right)$, $\mathrm{k}=1,2,\dots ,\mathrm{p}$}. Then, clearly, ${\mathrm{Y}}^{{}^{\prime }}$ is a Banach space equipped with the norm $\left|\right|\Im \left(\mathrm{t}\right)\left|\right|={max}_{\mathsf{\sigma }\in \mathcal{J}}|\Im \left(\mathsf{\sigma }\right)|$.

Lemma 5. 

Let ${\mathrm{F}}_1$, ${\mathrm{F}}_2$ be real-valued continuous functions on $\mathcal{J}$. Then, the coupled system:

$$\begin{array}{c}\hfill \left\{\begin{array}{cc}{}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},\mathsf{\sigma }}^{{\mathsf{\gamma }}_1;\mathsf{\psi }}({}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},\mathsf{\sigma }}^{{\mathsf{\beta }}_1;\mathsf{\psi }}+{\mathsf{\alpha }}_1)\wp \left(\mathsf{\sigma }\right)={\mathrm{F}}_1\left(\mathsf{\sigma }\right),\mathsf{\sigma }\in \mathrm{J},\mathsf{\sigma }\ne {\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},\mathrm{k}=0,1,\dots ,\mathrm{p},\hfill & \hfill \\ {}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},\mathsf{\sigma }}^{{\mathsf{\gamma }}_2;\mathsf{\psi }}({}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},\mathsf{\sigma }}^{{\mathsf{\beta }}_2;\mathsf{\psi }}+{\mathsf{\alpha }}_2)\Im \left(\mathsf{\sigma }\right)={\mathrm{F}}_2\left(\mathsf{\sigma }\right),\mathsf{\sigma }\in \mathrm{J},\mathsf{\sigma }\ne {\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},\mathrm{k}=0,1,\dots ,\mathrm{p},\hfill & \hfill \end{array}\right.\end{array}$$

(2)

equipped with the boundary conditions given in (1) only has one solution, which is given by

$$\begin{array}{ccc}\hfill & & \wp \left(\mathsf{\sigma }\right)=\hfill \\ & & \frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\sigma }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}{\mathrm{F}}_1\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & -\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\sigma }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\left((\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))\right)\hfill \\ & & \times \frac{1}{\mathsf{\Delta }}[\frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\eta }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}{\mathrm{F}}_1\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}-\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\eta }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & +\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}{\mathrm{F}}_1\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right)\hfill \\ & & {(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-2}{\mathrm{F}}_1\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & -\frac{{\mathsf{\alpha }}_1(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1-1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-2}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+{\mathrm{I}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))+\frac{\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{\mathrm{J}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)))\hfill \\ & & -{\mathrm{a}}_1{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}}\{\frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\tau }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}{\mathrm{F}}_1\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & -\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\tau }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}{\mathrm{F}}_1\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & +\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-2}{\mathrm{F}}_1\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}-\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & +{\mathrm{I}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))+\frac{\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{\mathrm{J}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))\left)\right\}\mathrm{d}\mathsf{\tau }-{\mathrm{a}}_2{\int }_{{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}}\{\frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\tau }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}{\mathrm{F}}_1\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & -\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\tau }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}{\mathrm{F}}_1\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-2}{\mathrm{F}}_1\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & -\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+{\mathrm{I}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))+\frac{\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{\mathrm{J}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))\left)\right\}\mathrm{d}\mathsf{\tau }]\hfill \\ & & +\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}{\mathrm{F}}_1\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & +\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-2}{\mathrm{F}}_1\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}-\frac{{\mathsf{\alpha }}_1(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1-1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right)\hfill \\ & & {(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-2}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+{\mathrm{I}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))+\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{\mathrm{J}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))),\hfill \end{array}$$

(3)

$$\begin{array}{ccc}\hfill & & \Im \left(\mathsf{\sigma }\right)=\hfill \\ & & \frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\sigma }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1}{\mathrm{F}}_2\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}-\frac{{\mathsf{\alpha }}_2}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_2\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\sigma }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2-1}\Im \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\left(\right(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)\hfill \\ & & -\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right)))·\frac{1}{\mathsf{\Delta }}[\frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\eta }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1}{\mathrm{F}}_2\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}-\frac{{\mathsf{\alpha }}_2}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_2\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\eta }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right)\hfill \\ & & {(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2-1}\Im \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1}{\mathrm{F}}_2\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_2}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_2\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right)\hfill \\ & & {(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2-1}\Im \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-2}{\mathrm{F}}_2\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & -\frac{{\mathsf{\alpha }}_2(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_2-1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2-2}\Im \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+{\mathrm{I}}_{\mathrm{i}}^{*}(\Im \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))+\frac{\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{\mathrm{J}}_{\mathrm{i}}^{*}(\Im \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)))\hfill \\ & & -{\mathrm{a}}_1{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}}\{\frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\tau }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1}{\mathrm{F}}_2\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}-\frac{{\mathsf{\alpha }}_2}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_2\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\tau }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2-1}\Im \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & +\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1}{\mathrm{F}}_2\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_2}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_2\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2-1}\Im \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & +\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-2}{\mathrm{F}}_2\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}-\frac{{\mathsf{\alpha }}_2}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_2\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2-1}\Im \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & +{\mathrm{I}}_{\mathrm{i}}^{*}(\Im \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))+\frac{\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{\mathrm{J}}_{\mathrm{i}}^{*}(\Im \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))\left)\right\}\mathrm{d}\mathsf{\tau }-{\mathrm{a}}_2{\int }_{{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}}\{\frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\tau }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1}{\mathrm{F}}_2\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & -\frac{{\mathsf{\alpha }}_2}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_2\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\tau }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2-1}\Im \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1}{\mathrm{F}}_2\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_2}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_2\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2-1}\Im \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-2}{\mathrm{F}}_2\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & -\frac{{\mathsf{\alpha }}_2}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_2\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2-1}\Im \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+{\mathrm{I}}_{\mathrm{i}}^{*}(\Im \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))+\frac{\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{\mathrm{J}}_{\mathrm{i}}^{*}(\Im \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))\left)\right\}\mathrm{d}\mathsf{\tau }]\hfill \\ & & +\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1}{\mathrm{F}}_2\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_2}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_2\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2-1}\Im \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & +\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-2}{\mathrm{F}}_2\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}-\frac{{\mathsf{\alpha }}_2(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_2-1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right)\hfill \\ & & {(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2-2}\Im \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+{\mathrm{I}}_{\mathrm{i}}^{*}(\Im \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))+\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{\mathrm{J}}_{\mathrm{i}}^{*}(\Im \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))),\hfill \end{array}$$

(4)

where

$$\begin{array}{ccc}\hfill \mathsf{\Delta }& =& {\mathrm{a}}_1{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}}((\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right)))\mathrm{d}\mathsf{\tau }+{\mathrm{a}}_2{\int }_{{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}}((\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right)))\mathrm{d}\mathsf{\tau }\hfill \\ & & -((\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))),\hfill \end{array}$$

and it is assumed that

$$\begin{array}{c}\hfill \mathsf{\Delta }\ne 0.\end{array}$$

Proof. 

Let

$${}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},\mathsf{\sigma }}^{{\mathsf{\gamma }}_1;\mathsf{\psi }}({}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},\mathsf{\sigma }}^{{\mathsf{\beta }}_1;\mathsf{\psi }}+{\mathsf{\alpha }}_1)\wp \left(\mathsf{\sigma }\right)={\mathrm{F}}_1\left(\mathsf{\sigma }\right).$$

Then, using Lemma 1 in the differential Equation (2), for any $\mathsf{\sigma }\in {\mathcal{J}}_0$, there exist constants ${\mathrm{c}}_0,{\mathrm{c}}_1\in \mathbb{R}$, such that:

$$\begin{array}{c}\hfill \wp \left(\mathsf{\sigma }\right)={\mathrm{I}}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1;\mathsf{\psi }}{\mathrm{F}}_1\left(\mathsf{\sigma }\right)-{\mathsf{\alpha }}_1{\mathrm{I}}^{{\mathsf{\beta }}_1;\mathsf{\psi }}\wp \left(\mathsf{\sigma }\right)+{\mathrm{c}}_0+{\mathrm{c}}_1(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_0\right)).\end{array}$$

$$\begin{array}{ccc}\hfill \wp \left(\mathsf{\sigma }\right)& =& \frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_0}^{\mathsf{\sigma }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}{\mathrm{F}}_1\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & -\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_0}^{\mathsf{\sigma }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+{\mathrm{c}}_0+{\mathrm{c}}_1(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_0\right)),\hfill \end{array}$$

(5)

Using the initial condition $\wp \left(0\right)=0$, we get ${\mathrm{c}}_0=0$, so

$$\begin{array}{ccc}\hfill \wp \left(\mathsf{\sigma }\right)& =& \frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_0}^{\mathsf{\sigma }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}{\mathrm{F}}_1\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & -\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_0}^{\mathsf{\sigma }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+{\mathrm{c}}_1(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_0\right)).\hfill \end{array}$$

Furthermore, we obtain

$$\begin{array}{ccc}\hfill {\wp }^{{}^{\prime }}\left(\mathsf{\sigma }\right)& =& \frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_0}^{\mathsf{\sigma }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-2}{\mathrm{F}}_1\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & -\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1-1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_0}^{\mathsf{\sigma }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-2}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+{\mathrm{c}}_1{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathsf{\sigma }\right).\hfill \end{array}$$

For $\mathsf{\sigma }\in {\mathcal{J}}_1$, there are ${\mathrm{d}}_0,{\mathrm{d}}_1\in \mathbb{R}$ such that

$$\begin{array}{ccc}\hfill \wp \left(\mathsf{\sigma }\right)& =& \frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_0}^{\mathsf{\sigma }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}{\mathrm{F}}_1\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & -\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_0}^{\mathsf{\sigma }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+{\mathrm{d}}_0+{\mathrm{d}}_1(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_0\right)).\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ccc}\hfill {\wp }^{{}^{\prime }}\left(\mathsf{\sigma }\right)& =& \frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_0}^{\mathsf{\sigma }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-2}{\mathrm{F}}_1\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & -\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1-1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_0}^{\mathsf{\sigma }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-2}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+{\mathrm{d}}_1{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathsf{\sigma }\right).\hfill \end{array}$$

Hence, it follows that

$$\begin{array}{ccc}\hfill \wp \left({\mathsf{\sigma }}_1^{-}\right)& =& \frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_0}^{{\mathsf{\sigma }}_1}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_1\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}{\mathrm{F}}_1\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & -\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_0}^{{\mathsf{\sigma }}_1}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_1\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+{\mathrm{c}}_1(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_1\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_0\right)),\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{c}\hfill \wp \left({\mathsf{\sigma }}_1^{+}\right)={\mathrm{d}}_0,\end{array}$$

$$\begin{array}{ccc}\hfill {\wp }^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_1^{-}\right)& =& \frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_0}^{{\mathsf{\sigma }}_1}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_1\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-2}{\mathrm{F}}_1\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & -\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1-1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_0}^{{\mathsf{\sigma }}_1}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_1\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-2}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+{\mathrm{c}}_1{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_1\right),\hfill \end{array}$$

$${\wp }^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_1^{+}\right)={\mathrm{d}}_1{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_1\right).$$

Using

$$\begin{array}{c}\hfill \left\{\begin{array}{c}\mathsf{\Delta }\wp \left({\mathsf{\sigma }}_1\right)=\wp \left({\mathsf{\sigma }}_1^{+}\right)-\wp \left({\mathsf{\sigma }}_1^{-}\right)={\mathrm{I}}_1(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_1\right)),\hfill \\ \mathsf{\Delta }{\wp }^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_1\right)={\wp }^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_1^{+}\right)-{\wp }^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_1^{-}\right)={\mathrm{J}}_1(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_1\right)).\hfill \end{array}\right.\end{array}$$

we obtain

$$\begin{array}{ccc}\hfill {\mathrm{d}}_0& =& \frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_0}^{{\mathsf{\sigma }}_1}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_1\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}{\mathrm{F}}_1\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & -\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_0}^{{\mathsf{\sigma }}_1}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_1\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+{\mathrm{c}}_1(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_1\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_0\right))+{\mathrm{I}}_1(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_1\right)),\hfill \\ \hfill {\mathrm{d}}_1& =& \frac{1}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_1\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_0}^{{\mathsf{\sigma }}_1}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_1\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-2}{\mathrm{F}}_1\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & -\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_1\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1-1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_0}^{{\mathsf{\sigma }}_1}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_1\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-2}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+{\mathrm{c}}_1+\frac{1}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_1\right)}{\mathrm{J}}_1(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_1\right)).\hfill \end{array}$$

Thus,

$$\begin{array}{ccc}& & \wp \left(\mathsf{\sigma }\right)=\hfill \\ & & \frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_1}^{\mathsf{\sigma }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}{\mathrm{F}}_1\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}-\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_1}^{\mathsf{\sigma }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}\hfill \\ & & {\int }_{{\mathsf{\sigma }}_0}^{{\mathsf{\sigma }}_1}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_1\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}{\mathrm{F}}_1\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}-\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_0}^{{\mathsf{\sigma }}_1}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_1\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+{\mathrm{c}}_1(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_1\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_0\right))\hfill \\ & & +{\mathrm{I}}_1(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_1\right))+{\mathrm{c}}_1(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_1\right))+\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_1\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_1\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_0}^{{\mathsf{\sigma }}_1}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_1\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-2}{\mathrm{F}}_1\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & -\frac{{\mathsf{\alpha }}_1(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_1\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_1\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1-1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_0}^{{\mathsf{\sigma }}_1}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_1\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-2}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_1\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_1\right)}{\mathrm{J}}_1(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_1\right)),\mathsf{\sigma }\in {\mathrm{J}}_1.\hfill \end{array}$$

Similarly, for $\mathsf{\sigma }\in {\mathcal{J}}_{\mathrm{k}}$, $\mathrm{k}=1,2,\dots ,\mathrm{p}$, we have

$$\begin{array}{ccc}\hfill & & \wp \left(\mathsf{\sigma }\right)=\hfill \\ & & \frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\sigma }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}{\mathrm{F}}_1\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}-\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\sigma }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+{\mathrm{c}}_1\left(\right(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)\hfill \\ & & -\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right)))+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}\frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}{\mathrm{F}}_1\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}\hfill \\ & & {\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-2}{\mathrm{F}}_1\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & -\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}\frac{{\mathsf{\alpha }}_1(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1-1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-2}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}{\mathrm{I}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{\mathrm{J}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)).\hfill \end{array}$$

(6)

Finally, applying $\wp \left(\mathsf{\eta }\right)={\mathrm{a}}_1{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}}\wp \left(\mathsf{\tau }\right)\mathrm{d}\mathsf{\tau }+{\mathrm{a}}_2{\int }_{{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}}\wp \left(\mathsf{\tau }\right)\mathrm{d}\mathsf{\tau }$, we get the value of ${\mathrm{c}}_1$ as

$$\begin{array}{ccc}\hfill & & {\mathrm{c}}_1=\hfill \\ & & \frac{1}{\mathsf{\Delta }}[\frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\eta }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}{\mathrm{F}}_1\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}-\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\eta }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\hfill \\ & & \frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}{\mathrm{F}}_1\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & +\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-2}{\mathrm{F}}_1\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}-\frac{{\mathsf{\alpha }}_1(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1-1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right)\hfill \\ & & {(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-2}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+{\mathrm{I}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))+\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{\mathrm{J}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)))-{\mathrm{a}}_1{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}}\{\frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\tau }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right)(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)\hfill \\ & & {-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}{\mathrm{F}}_1\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}-\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\tau }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right)(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\hfill \\ & & {-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}{\mathrm{F}}_1\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right)\hfill \\ & & {(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-2}{\mathrm{F}}_1\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}-\frac{{\mathsf{\alpha }}_1(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1-1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-2}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+{\mathrm{I}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))\hfill \\ & & +\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{\mathrm{J}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))\left)\right\}\mathrm{d}\mathsf{\tau }-{\mathrm{a}}_2{\int }_{{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}}\{\frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\tau }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}{\mathrm{F}}_1\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & -\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\tau }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}{\mathrm{F}}_1\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-2}{\mathrm{F}}_1\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & -\frac{{\mathsf{\alpha }}_1(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1-1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-2}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+{\mathrm{I}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))+\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{\mathrm{J}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))\left)\right\}\mathrm{d}\mathsf{\tau }].\hfill \end{array}$$

(7)

Putting (7) in (6), we obtain our required result (3) and similarly, we get (4). The converse of the lemma follows by direct computation. This concludes the proof. □

4. Existence Results for the Problem (1)

Here, we consider some hypotheses.

Hypothesis 1. 

For each $\mathsf{\sigma }\in \mathcal{J}$ and ${\wp }_1,{\wp }_2\in {\mathrm{X}}^{{}^{\prime }}$, ${\Im }_1,{\Im }_2\in {\mathrm{Y}}^{{}^{\prime }}$, there exist positive constants ${\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}>0$, ${\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}>0$, such that

$$|{\mathrm{F}}_1(\mathsf{\sigma },{\wp }_1\left(\mathsf{\sigma }\right),{\Im }_1\left(\mathsf{\sigma }\right))-{\mathrm{F}}_1(\mathsf{\sigma },{\wp }_2\left(\mathsf{\sigma }\right),{\Im }_2\left(\mathsf{\sigma }\right))|\le {\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}|{\wp }_1\left(\mathsf{\sigma }\right)-{\wp }_2\left(\mathsf{\sigma }\right)|+{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}|{\Im }_1\left(\mathsf{\sigma }\right)-{\Im }_2\left(\mathsf{\sigma }\right)|.$$

Hypothesis 2. 

For each $\mathsf{\sigma }\in \mathcal{J}$ and ${\wp }_1,{\wp }_2\in {\mathrm{X}}^{{}^{\prime }}$, ${\Im }_1,{\Im }_2\in {\mathrm{Y}}^{{}^{\prime }}$, there exist positive constants ${\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_2}>0$, ${\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_2}>0$, such that

$$|{\mathrm{F}}_2(\mathsf{\sigma },{\wp }_1\left(\mathsf{\sigma }\right),{\Im }_1\left(\mathsf{\sigma }\right))-{\mathrm{F}}_2(\mathsf{\sigma },{\wp }_2\left(\mathsf{\sigma }\right),{\Im }_2\left(\mathsf{\sigma }\right))|\le {\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_2}|{\wp }_1\left(\mathsf{\sigma }\right)-{\wp }_2\left(\mathsf{\sigma }\right)|+{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_2}|{\Im }_1\left(\mathsf{\sigma }\right)-{\Im }_2\left(\mathsf{\sigma }\right)|.$$

Hypothesis 3. 

For every ${\wp }_1,{\wp }_2\in {\mathrm{X}}^{{}^{\prime }}$ and ${\Im }_1,{\Im }_2\in {\mathrm{Y}}^{{}^{\prime }}$, there exist constants ${\mathrm{A}}_1,{\mathrm{A}}_2,{\mathrm{A}}_3,{\mathrm{A}}_4>0$ such that

$$|{\mathrm{I}}_{\mathrm{k}}\left({\wp }_1\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right)\right)-{\mathrm{I}}_{\mathrm{k}}\left({\wp }_2\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right)\right)|\le {\mathrm{A}}_1|{\wp }_1\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right)-{\wp }_2\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right)|,$$

$$|{\mathrm{J}}_{\mathrm{k}}\left({\wp }_1\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right)\right)-{\mathrm{J}}_{\mathrm{k}}\left({\wp }_2\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right)\right)|\le {\mathrm{A}}_2|{\wp }_1\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right)-{\wp }_2\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right)|,$$

$$|{\mathrm{I}}_{\mathrm{k}}^{*}\left({\Im }_1\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right)\right)-{\mathrm{I}}_{\mathrm{k}}^{*}\left({\Im }_2\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right)\right)|\le {\mathrm{A}}_3|{\Im }_1\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right)-{\Im }_2\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right)|,$$

$$|{\mathrm{J}}_{\mathrm{k}}^{*}\left({\Im }_1\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right)\right)-{\mathrm{J}}_{\mathrm{k}}^{*}\left({\Im }_2\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right)\right)|\le {\mathrm{A}}_4|{\Im }_1\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right)-{\Im }_2\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right)|.$$

Hypothesis 4. 

There exist constants ${\mathsf{\theta }}_0$, ${\mathsf{\theta }}_1$ and ${\mathsf{\theta }}_2$ such that

$$|{\mathrm{F}}_1(\mathsf{\sigma },\wp \left(\mathsf{\sigma }\right),\Im \left(\mathsf{\sigma }\right))|<{\mathsf{\theta }}_0\left(\mathsf{\sigma }\right)+{\mathsf{\theta }}_1\left(\mathsf{\sigma }\right)|\wp \left(\mathsf{\sigma }\right)|+{\mathsf{\theta }}_2\left(\mathsf{\sigma }\right)|\Im \left(\mathsf{\sigma }\right)|,$$

with ${sup}_{\mathsf{\sigma }\in \mathrm{J}}{\mathsf{\theta }}_0\left(\mathsf{\sigma }\right)={\mathsf{\theta }}_0^{*}$, ${sup}_{\mathsf{\sigma }\in \mathrm{J}}{\mathsf{\theta }}_1\left(\mathsf{\sigma }\right)={\mathsf{\theta }}_1^{*}$, ${sup}_{\mathsf{\sigma }\in \mathrm{J}}{\mathsf{\theta }}_2\left(\mathsf{\sigma }\right)={\mathsf{\theta }}_2^{*}.$

There exist constants ${\mathsf{\theta }}_3$, ${\mathsf{\theta }}_4$ and ${\mathsf{\theta }}_5$ such that

$$|{\mathrm{F}}_2(\mathsf{\sigma },\wp \left(\mathsf{\sigma }\right),\Im \left(\mathsf{\sigma }\right))|<{\mathsf{\theta }}_3\left(\mathsf{\sigma }\right)+{\mathsf{\theta }}_4\left(\mathsf{\sigma }\right)|\wp \left(\mathsf{\sigma }\right)|+{\mathsf{\theta }}_5\left(\mathsf{\sigma }\right)|\Im \left(\mathsf{\sigma }\right)|,$$

with ${sup}_{\mathsf{\sigma }\in \mathrm{J}}{\mathsf{\theta }}_3\left(\mathsf{\sigma }\right)={\mathsf{\theta }}_3^{*}$, ${sup}_{\mathsf{\sigma }\in \mathrm{J}}{\mathsf{\theta }}_4\left(\mathsf{\sigma }\right)={\mathsf{\theta }}_4^{*}$, ${sup}_{\mathsf{\sigma }\in \mathrm{J}}{\mathsf{\theta }}_5\left(\mathsf{\sigma }\right)={\mathsf{\theta }}_5^{*}$.

Hypothesis 5. 

For each $\wp \left(\mathsf{\sigma }\right)\in {\mathrm{X}}^{{}^{\prime }}$, $\Im \left(\mathsf{\sigma }\right)\in {\mathrm{Y}}^{{}^{\prime }}$, there exist constants ${\mathrm{A}}_5,{\mathrm{A}}_6,{\mathrm{A}}_7,{\mathrm{A}}_8$, ${\mathrm{N}}_1,{\mathrm{N}}_2,{\mathrm{N}}_3,$${\mathrm{N}}_4>0$ such that the functions ${\mathrm{I}}_{\mathrm{k}},{\mathrm{J}}_{\mathrm{k}},{\mathrm{I}}_{\mathrm{k}}^{*},{\mathrm{J}}_{\mathrm{k}}^{*}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ are continuous and satisfy the inequalities:

$$|{\mathrm{I}}_{\mathrm{k}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))|\le {\mathrm{A}}_5|\wp \left(\mathsf{\sigma }\right)|+{\mathrm{N}}_1,|{\mathrm{J}}_{\mathrm{k}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))|\le {\mathrm{A}}_6|\wp \left(\mathsf{\sigma }\right)|+{\mathrm{N}}_2,$$

$$|{\mathrm{I}}_{\mathrm{k}}^{*}(\Im \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))|\le {\mathrm{A}}_7|\Im \left(\mathsf{\sigma }\right)|+{\mathrm{N}}_3,|{\mathrm{J}}_{\mathrm{k}}^{*}(\Im \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))|\le {\mathrm{A}}_8|\Im \left(\mathsf{\sigma }\right)|+{\mathrm{N}}_4,$$

for k = 1, 2, …, p.

Let us define an operator $\mathcal{P}:{\mathrm{X}}^{{}^{\prime }}\times {\mathrm{Y}}^{{}^{\prime }}⟶{\mathrm{X}}^{{}^{\prime }}\times {\mathrm{Y}}^{{}^{\prime }}$ such that

$$\mathcal{P}(\wp ,\Im )\left(\mathsf{\sigma }\right)=({\mathcal{P}}_1(\wp ,\Im )\left(\mathsf{\sigma }\right),{\mathcal{P}}_2(\wp ,\Im )\left(\mathsf{\sigma }\right)),$$

where

$$\begin{array}{ccc}& & {\mathcal{P}}_1(\wp ,\Im )\left(\mathsf{\sigma }\right)=\hfill \\ & & \frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\sigma }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))\mathrm{d}\mathrm{r}-\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\sigma }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & +\left((\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))\right).\frac{1}{\mathsf{\Delta }}[\frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\eta }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\hfill \\ & & \Im \left(\mathrm{r}\right))\mathrm{d}\mathrm{r}-\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\eta }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}\hfill \\ & & {\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right)\hfill \\ & & {(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-2}{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))\mathrm{d}\mathrm{r}-\frac{{\mathsf{\alpha }}_1(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1-1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-2}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & +{\mathrm{I}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))+\frac{\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{\mathrm{J}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)))-{\mathrm{a}}_1{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}}\{\frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\tau }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\hfill \\ & & \Im \left(\mathrm{r}\right))\mathrm{d}\mathrm{r}-\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\tau }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}\hfill \\ & & {\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right)\hfill \\ & & {(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-2}{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))\mathrm{d}\mathrm{r}-\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+{\mathrm{I}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))\hfill \\ & & +\frac{\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{\mathrm{J}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))\left)\right\}\mathrm{d}\mathsf{\tau }-{\mathrm{a}}_2{\int }_{{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}}\{\frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\tau }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & -\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\tau }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\hfill \\ & & \Im \left(\mathrm{r}\right))\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-2}\hfill \\ & & {\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))\mathrm{d}\mathrm{r}-\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+{\mathrm{I}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))+\frac{\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{\mathrm{J}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))\left)\right\}\mathrm{d}\mathsf{\tau }]\hfill \\ & & +\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right)(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\hfill \\ & & {-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-2}{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & -\frac{{\mathsf{\alpha }}_1(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1-1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-2}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+{\mathrm{I}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))+\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{\mathrm{J}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))),\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ccc}& & {\mathcal{P}}_2(\wp ,\Im )\left(\mathsf{\sigma }\right)=\hfill \\ & & \frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\sigma }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1}{\mathrm{F}}_2(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))\mathrm{d}\mathrm{r}-\frac{{\mathsf{\alpha }}_2}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_2\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\sigma }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2-1}\Im \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & +\left((\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))\right).\frac{1}{\mathsf{\Delta }}[\frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\eta }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1}{\mathrm{F}}_2(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\hfill \\ & & \Im \left(\mathrm{r}\right))\mathrm{d}\mathrm{r}-\frac{{\mathsf{\alpha }}_2}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_2\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\eta }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2-1}\Im \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1}\hfill \\ & & {\mathrm{F}}_2(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_2}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_2\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2-1}\Im \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right)\hfill \\ & & {(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-2}{\mathrm{F}}_2(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))\mathrm{d}\mathrm{r}-\frac{{\mathsf{\alpha }}_2(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_2-1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2-2}\Im \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & +{\mathrm{I}}_{\mathrm{i}}^{*}(\Im \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))+\frac{\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{\mathrm{J}}_{\mathrm{i}}^{*}(\Im \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)))-{\mathrm{a}}_1{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}}\{\frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\tau }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1}{\mathrm{F}}_2(\mathrm{r},\hfill \\ & & \wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))\mathrm{d}\mathrm{r}-\frac{{\mathsf{\alpha }}_2}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_2\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\tau }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2-1}\Im \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right)(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\hfill \\ & & {-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1}{\mathrm{F}}_2(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_2}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_2\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2-1}\Im \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}\hfill \\ & & {\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-2}{\mathrm{F}}_2(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))\mathrm{d}\mathrm{r}-\frac{{\mathsf{\alpha }}_2}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_2\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2-1}\Im \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & +{\mathrm{I}}_{\mathrm{i}}^{*}(\Im \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))+\frac{\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{\mathrm{J}}_{\mathrm{i}}^{*}(\Im \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))\left)\right\}\mathrm{d}\mathsf{\tau }-{\mathrm{a}}_2{\int }_{{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}}\{\frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\tau }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1}\hfill \\ & & {\mathrm{F}}_2(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))\mathrm{d}\mathrm{r}-\frac{{\mathsf{\alpha }}_2}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_2\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\tau }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2-1}\Im \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right)(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\hfill \\ & & {-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1}{\mathrm{F}}_2(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_2}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_2\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2-1}\Im \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}\hfill \\ & & {\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-2}{\mathrm{F}}_2(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))\mathrm{d}\mathrm{r}-\frac{{\mathsf{\alpha }}_2}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_2\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2-1}\Im \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & +{\mathrm{I}}_{\mathrm{i}}^{*}(\Im \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))+\frac{\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{\mathrm{J}}_{\mathrm{i}}^{*}(\Im \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))\left)\right\}\mathrm{d}\mathsf{\tau }]+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1}\hfill \\ & & {\mathrm{F}}_2(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_2}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_2\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2-1}\Im \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right)\hfill \\ & & {(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-2}{\mathrm{F}}_2(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))\mathrm{d}\mathrm{r}-\frac{{\mathsf{\alpha }}_2(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_2-1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2-2}\Im \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & +{\mathrm{I}}_{\mathrm{i}}^{*}(\Im \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))+\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{\mathrm{J}}_{\mathrm{i}}^{*}(\Im \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))).\hfill \end{array}$$

Our first result is stated as follows.

Theorem 1. 

Assume that the conditions $\left({\mathrm{H}}_1\right)$ and $\left({\mathrm{H}}_2\right)$ are satisfied, and

$$\mathsf{\Omega }=max\{{\mathsf{\Omega }}_1,{\mathsf{\Omega }}_2,{\mathsf{\Omega }}_3,{\mathsf{\Omega }}_4\}<1,$$

(8)

where the proof includes ${\mathsf{\Omega }}_1$, ${\mathsf{\Omega }}_2$, ${\mathsf{\Omega }}_3$, and ${\mathsf{\Omega }}_4$. Then, (1) has a unique solution.

Proof. 

Let $(\wp ,\Im ),(\overline{\wp },\overline{\Im })$ $\in {\mathrm{X}}^{{}^{\prime }}\times {\mathrm{Y}}^{{}^{\prime }}$. Then,

$$\begin{array}{ccc}& & |{\mathcal{P}}_1(\wp ,\Im )\left(\mathsf{\sigma }\right)-{\mathcal{P}}_1(\overline{\wp },\overline{\Im })\left(\mathsf{\sigma }\right)|\hfill \\ & \le & \frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\sigma }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}|{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))-{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\overline{\wp }\left(\mathrm{r}\right),\overline{\Im }\left(\mathrm{r}\right))|\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\sigma }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}|\wp \left(\mathrm{r}\right)-\overline{\wp }\left(\mathrm{r}\right)|\mathrm{d}\mathrm{r}+((\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\hfill \\ & & -\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right)))\frac{1}{\mathsf{\Delta }}[\frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\eta }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}|{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))\hfill \\ & & -{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\overline{\wp }\left(\mathrm{r}\right),\overline{\Im }\left(\mathrm{r}\right))|\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\eta }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}|\wp \left(\mathrm{r}\right)-\overline{\wp }\left(\mathrm{r}\right)|\mathrm{d}\mathrm{r}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\hfill \\ & & \frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}|{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))-{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\overline{\wp }\left(\mathrm{r}\right),\overline{\Im }\left(\mathrm{r}\right))|\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}|\wp \left(\mathrm{r}\right)-\overline{\wp }\left(\mathrm{r}\right)|\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right)\hfill \\ & & {(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-2}|{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))-{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\overline{\wp }\left(\mathrm{r}\right),\overline{\Im }\left(\mathrm{r}\right))|\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1-1)}\hfill \\ & & {\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-2}|\wp \left(\mathrm{r}\right)-\overline{\wp }\left(\mathrm{r}\right)|\mathrm{d}\mathrm{r}+|{\mathrm{I}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))-{\mathrm{I}}_{\mathrm{i}}\left(\overline{\wp }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\right)|+\frac{\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}\hfill \\ & & |{\mathrm{J}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))-{\mathrm{J}}_{\mathrm{i}}\left(\overline{\wp }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\right)|)+{\mathrm{a}}_1{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}}\{\frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\tau }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}|{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\hfill \\ & & \wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))-{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\overline{\wp }\left(\mathrm{r}\right),\overline{\Im }\left(\mathrm{r}\right))|\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\tau }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}|\wp \left(\mathrm{r}\right)-\overline{\wp }\left(\mathrm{r}\right)|\mathrm{d}\mathrm{r}+\hfill \\ & & \sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}|{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))-{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\overline{\wp }\left(\mathrm{r}\right),\overline{\Im }\left(\mathrm{r}\right))|\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}|\wp \left(\mathrm{r}\right)-\overline{\wp }\left(\mathrm{r}\right)|\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right)\hfill \\ & & {(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-2}|{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))-{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\overline{\wp }\left(\mathrm{r}\right),\overline{\Im }\left(\mathrm{r}\right))|\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right)(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\hfill \\ & & {-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}|\wp \left(\mathrm{r}\right)-\overline{\wp }\left(\mathrm{r}\right)|\mathrm{d}\mathrm{r}+|{\mathrm{I}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))-{\mathrm{I}}_{\mathrm{i}}\left(\overline{\wp }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\right)|+\frac{\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}|{\mathrm{J}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))-\hfill \\ & & {\mathrm{J}}_{\mathrm{i}}\left(\overline{\wp }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\right)|)\}\mathrm{d}\mathsf{\tau }+{\mathrm{a}}_2{\int }_{{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}}\{\frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\tau }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}|{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))\hfill \\ & & -{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\overline{\wp }\left(\mathrm{r}\right),\overline{\Im }\left(\mathrm{r}\right))|\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\tau }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}|\wp \left(\mathrm{r}\right)-\overline{\wp }\left(\mathrm{r}\right)|\mathrm{d}\mathrm{r}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\hfill \\ & & \frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}|{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))-{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\overline{\wp }\left(\mathrm{r}\right),\overline{\Im }\left(\mathrm{r}\right))|\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}|\wp \left(\mathrm{r}\right)-\overline{\wp }\left(\mathrm{r}\right)|\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right)\hfill \\ & & {(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-2}|{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))-{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\overline{\wp }\left(\mathrm{r}\right),\overline{\Im }\left(\mathrm{r}\right))|\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right)\hfill \\ & & {(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}|\wp \left(\mathrm{r}\right)-\overline{\wp }\left(\mathrm{r}\right)|\mathrm{d}\mathrm{r}+|{\mathrm{I}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))-{\mathrm{I}}_{\mathrm{i}}\left(\overline{\wp }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\right)|+\frac{\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}|{\mathrm{J}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))-{\mathrm{J}}_{\mathrm{i}}\left(\overline{\wp }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\right)|\left)\right\}\mathrm{d}\mathsf{\tau }]\hfill \\ & & +\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}|{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))\hfill \\ & & -{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\overline{\wp }\left(\mathrm{r}\right),\overline{\Im }\left(\mathrm{r}\right))|\mathrm{d}\mathrm{s}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}|\wp \left(\mathrm{r}\right)-\overline{\wp }\left(\mathrm{r}\right)|\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & +\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-2}|{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))\hfill \\ & & -{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\overline{\wp }\left(\mathrm{r}\right),\overline{\Im }\left(\mathrm{r}\right))|\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1-1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-2}|\wp \left(\mathrm{r}\right)-\overline{\wp }\left(\mathrm{r}\right)|\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & +|{\mathrm{I}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))-{\mathrm{I}}_{\mathrm{i}}\left(\overline{\wp }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\right)|+\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}|{\mathrm{J}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))-{\mathrm{J}}_{\mathrm{i}}\left(\overline{\wp }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\right)|).\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ccc}& & |{\mathcal{P}}_1(\wp ,\Im )\left(\mathsf{\sigma }\right)-{\mathcal{P}}_1(\overline{\wp },\overline{\Im })\left(\mathsf{\sigma }\right)|\hfill \\ & \le & \frac{{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}\left({\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}||\wp -\overline{\wp }||+{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}||\Im -\overline{\Im }||\right)+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1+1)}||\wp -\overline{\wp }||\hfill \\ & & +\left((\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))\right)\frac{1}{|\mathsf{\Delta }|}\left[\frac{{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}\right({\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}||\wp -\overline{\wp }||\hfill \\ & & +{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}||\Im -\overline{\Im }||)+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1+1)}||\wp -\overline{\wp }||+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}\hfill \\ & & \left({\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}||\wp -\overline{\wp }||+{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}||\Im -\overline{\Im }||\right)+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1+1)}||\wp -\overline{\wp }||\hfill \\ & & +\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}\left({\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}||\wp -\overline{\wp }||+{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}||\Im -\overline{\Im }||\right)\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_1(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}||\wp -\overline{\wp }|+{\mathrm{A}}_1||\wp -\overline{\wp }||+{\mathrm{A}}_2\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}\hfill \\ & & ||\wp -\overline{\wp }||)+{\mathrm{a}}_1\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+2)}\left({\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}||\wp -\overline{\wp }||+{\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}||\Im -\overline{\Im }||\right)\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1+1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1+2)}||\wp -\overline{\wp }||+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})\hfill \\ & & \left({\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}||\wp -\overline{\wp }||+{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}||\Im -\overline{\Im }||\right)+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})||\wp -\overline{\wp }||\hfill \\ & & +\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}\left({\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}||\wp -\overline{\wp }||+{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}||\Im -\overline{\Im }||\right)\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}||\wp -\overline{\wp }||+{\mathrm{A}}_1||\wp -\overline{\wp }||({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})+{\mathrm{A}}_2\hfill \\ & & \frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)}||\wp -\overline{\wp }||)+{\mathrm{a}}_2\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}-{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+2)}\hfill \\ & & \left({\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}||\wp -\overline{\wp }||+{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}||\Im -\overline{\Im }||\right)+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1({(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1+1}-{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1+1})}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1+2)}\hfill \\ & & ||\wp -\overline{\wp }||+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}-{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})\left({\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}||\wp -\overline{\wp }||+{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}||\Im -\overline{\Im }||\right)\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}-{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})||\wp -\overline{\wp }||+\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}\hfill \\ & & \left\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}-\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\right\}\left({\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}||\wp -\overline{\wp }||+{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}||\Im -\overline{\Im }||\right)\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}\left\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}-\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\right\}||\wp -\overline{\wp }||\hfill \\ & & +{\mathrm{A}}_1||\wp -\overline{\wp }||({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}-{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})+\frac{{\mathrm{A}}_2||\wp -\overline{\wp }||}{\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}\left\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}-\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\right\}\left)\right]\hfill \\ & & +\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}\left({\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}||\wp -\overline{\wp }||+{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}||\Im -\overline{\Im }||\right)\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1+1)}||\wp -\overline{\wp }||+\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}\hfill \\ & & \left({\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}||\wp -\overline{\wp }||+{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}||\Im -\overline{\Im }||\right)+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}||\wp -\overline{\wp }||\hfill \\ & & +{\mathrm{A}}_1||\wp -\overline{\wp }||+{\mathrm{A}}_2\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}||\wp -\overline{\wp }||).\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ccc}& & |{\mathcal{P}}_1(\wp ,\Im )\left(\mathsf{\sigma }\right)-{\mathcal{P}}_1(\overline{\wp },\overline{\Im })\left(\mathsf{\sigma }\right)|\hfill \\ & \le & [{\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1+1)}+((\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\hfill \\ & & -\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right)\left)\right)\frac{1}{|\mathsf{\Delta }|}\{{\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1+1)}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}({\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}\hfill \\ & & \frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1+1)}+{\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}\hfill \\ & & \frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}\hfill \\ & & +{\mathrm{A}}_1+{\mathrm{A}}_2\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)})+{\mathrm{a}}_1{\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+2)}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1+1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1+2)}\hfill \\ & & +\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}({\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})\hfill \\ & & +{\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}+{\mathrm{A}}_1({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})+{\mathrm{A}}_2\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)})\hfill \\ & & +{\mathrm{a}}_2{\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}-{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+2)}\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_1({(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1+1}-{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1+1})}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1+2)}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}({\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}\hfill \\ & & \frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}-{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}-{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})\hfill \\ & & +{\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}\left\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}-\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\right\}\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}\left\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}-\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\right\}\hfill \\ & & +{\mathrm{A}}_1({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}-{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})+\frac{{\mathrm{A}}_2}{\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}\left\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}-\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\right\}\left)\right\}\hfill \\ & & +\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}({\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1+1)}\hfill \\ & & +{\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}\hfill \\ & & +{\mathrm{A}}_1+{\mathrm{A}}_2\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}\left)\right]||\wp -\overline{\wp }||+[{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}+((\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))\hfill \\ & & +\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))\left)\frac{1}{|\mathsf{\Delta }|}\right\{{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}({\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}\hfill \\ & & +{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)})+{\mathrm{a}}_1{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+2)}\hfill \\ & & +\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}({\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})\hfill \\ & & +{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)})+{\mathrm{a}}_2{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}\hfill \\ & & \frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}-{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+2)}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}({\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}\hfill \\ & & \frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}-{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})+{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}\hfill \\ & & \left\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}-\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\right\}\left)\right\}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}({\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}\hfill \\ & & +{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}\left)\right]||\Im -\overline{\Im }||.\hfill \end{array}$$

Let

$$\begin{array}{ccc}& & {\mathsf{\Omega }}_1=\hfill \\ & & [{\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1+1)}+\left((\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))\right)\frac{1}{|\mathsf{\Delta }|}\{{\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}\hfill \\ & & \frac{{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1+1)}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}({\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1+1)}\hfill \\ & & +{\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}+{\mathrm{A}}_1\hfill \\ & & +{\mathrm{A}}_2\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)})+{\mathrm{a}}_1{\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+2)}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1+1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1+2)}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}({\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}\hfill \\ & & \frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})\hfill \\ & & +{\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}\hfill \\ & & +{\mathrm{A}}_1({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})+{\mathrm{A}}_2\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)})+{\mathrm{a}}_2{\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}-{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+2)}\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_1({(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1+1}-{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1+1})}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1+2)}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}({\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}-{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}-{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})+{\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}\hfill \\ & & -\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}\left\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}-\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\right\}\hfill \\ & & +{\mathrm{A}}_1({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}-{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})+\frac{{\mathrm{A}}_2}{\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}\left\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}-\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\right\}\left)\right\}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}({\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}\hfill \\ & & \frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1+1)}+{\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_1(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}+{\mathrm{A}}_1+{\mathrm{A}}_2\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}\left)\right],\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ccc}& & {\mathsf{\Omega }}_2=\hfill \\ & & [{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}+\left((\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))\right)\frac{1}{|\mathsf{\Delta }|}\{{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}({\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}\hfill \\ & & \frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}+{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)})+{\mathrm{a}}_1{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+2)}\hfill \\ & & +\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}\left({\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})+{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}\right)\hfill \\ & & +{\mathrm{a}}_2{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}-{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+2)}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}({\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}\hfill \\ & & ({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}-{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})+{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}\left\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}-\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\right\}\left)\right\}\hfill \\ & & +\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}\left({\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}+{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}\right)].\hfill \end{array}$$

Then,

$$\begin{array}{c}\hfill |{\mathcal{P}}_1(\wp ,\Im )\left(\mathsf{\sigma }\right)-{\mathcal{P}}_1(\overline{\wp },\overline{\Im })\left(\mathsf{\sigma }\right)|\le {\mathsf{\Omega }}_1||\wp -\overline{\wp }||+{\mathsf{\Omega }}_2||\Im -\overline{\Im }||.\end{array}$$

Similarly,

$$\begin{array}{c}\hfill |{\mathcal{P}}_2(\wp ,\Im )\left(\mathsf{\sigma }\right)-{\mathcal{P}}_2(\overline{\wp },\overline{\Im })\left(\mathsf{\sigma }\right)|\le {\mathsf{\Omega }}_3||\wp -\overline{\wp }||+{\mathsf{\Omega }}_4||\Im -\overline{\Im }||,\end{array}$$

where

$$\begin{array}{ccc}& & {\mathsf{\Omega }}_3=\hfill \\ & & [{\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_2}\frac{{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1)}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_2{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_2+1)}+\left((\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))\right)\frac{1}{|\mathsf{\Delta }|}\{{\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_2}\hfill \\ & & \frac{{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1)}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_2{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_2+1)}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}({\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_2}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1)}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_2{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_2+1)}\hfill \\ & & +{\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_2}\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_2(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_2\right)}+{\mathrm{A}}_3\hfill \\ & & +{\mathrm{A}}_4\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)})+{\mathrm{a}}_1{\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_2}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+2)}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_2{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2+1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_2+2)}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}({\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_2}({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})\hfill \\ & & \frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1)}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_2{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_2+1)}({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})+{\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_2}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1}{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_2{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2-1}{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_2\right)}+{\mathrm{A}}_3({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})+{\mathrm{A}}_4\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)})+{\mathrm{a}}_2{\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_2}\hfill \\ & & \frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1}-{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+2)}\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_2({(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2+1}-{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2+1})}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_2+2)}\hfill \\ & & +\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}({\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_2}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1)}({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}-{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})+\frac{{\mathsf{\alpha }}_2{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_2+1)}({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}-{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})+{\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_2}\hfill \\ & & \frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}\left\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}-\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\right\}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_2{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2-1}}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_2\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}\hfill \\ & & \left\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}-\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\right\}+{\mathrm{A}}_3({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}-{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})+\frac{{\mathrm{A}}_4}{\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}\hfill \\ & & -\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\left\}\right)\}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}({\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_2}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1)}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_2{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_2+1)}+{\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_2}\hfill \\ & & \frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_2(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_2\right)}\hfill \\ & & +{\mathrm{A}}_3+{\mathrm{A}}_4\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}\left)\right],\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ccc}& & {\mathsf{\Omega }}_4=\hfill \\ & & [{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_2}\frac{{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1)}+\left((\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))\right)\hfill \\ & & \times \frac{1}{|\mathsf{\Delta }|}\{{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_2}\frac{{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1)}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}({\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_2}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1)}\hfill \\ & & +{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_2}\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)})+{\mathrm{a}}_1{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_2}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+2)}+\hfill \\ & & \sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}\left({\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_2}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1)}({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})+{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_2}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1}{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}\right)+{\mathrm{a}}_2{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_2}\hfill \\ & & \frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1}-{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+2)}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}({\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_2}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1)}({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}-{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})\hfill \\ & & +{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_2}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}\left\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}-\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\right\}\left)\right\}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}({\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_2}\hfill \\ & & \frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1)}+{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_2}\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}\left)\right].\hfill \end{array}$$

As it is assumed that

$$\begin{array}{c}\hfill max\{{\mathsf{\Omega }}_1,{\mathsf{\Omega }}_2,{\mathsf{\Omega }}_3,{\mathsf{\Omega }}_4\}=\mathsf{\Omega }<1.\end{array}$$

we have

$$\begin{array}{c}\hfill |\mathcal{P}(\wp ,\Im )\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathcal{P}(\overline{\wp },\overline{\Im })\left(\mathsf{\sigma }\right)|\le \mathsf{\Omega }(||\wp -\overline{\wp }||+||\Im -\overline{\Im }||).\end{array}$$

Then, from the above inequality we get that $\mathcal{P}$ is a contraction mapping and by the contraction principle $\mathcal{P}$ it has a unique fixed point. □

Theorem 2. 

Assume that the conditions $\left({\mathrm{H}}_1\right)$–$\left({\mathrm{H}}_5\right)$ are satisfied, then the coupled system (1) has at least one solution.

Proof. 

To prove that the coupled system (1) has at least one solution, we use Schaefer’s fixed point theorem. As ${\mathrm{F}}_1$, I and J are continuous functions, so ${\mathcal{P}}_1$ is continuous. Furthermore, from the continuity of ${\mathrm{F}}_2$, ${\mathrm{I}}^{*}$, ${\mathrm{J}}^{*}$, the operator ${\mathcal{P}}_2$ is continuous. This shows that $\mathcal{P}$ is continuous. Consider a set:

$$\begin{array}{c}\hfill {\mathrm{Q}}_{\mathrm{s}}=\{(\wp ,\Im )\in {\mathrm{X}}^{{}^{\prime }}\times {\mathrm{Y}}^{{}^{\prime }}:||(\wp ,\Im )||\le \mathrm{s}\}.\end{array}$$

For any $\mathsf{\sigma }\in [0,\mathrm{T}]$, we have

$$\begin{array}{ccc}& & |{\mathcal{P}}_1(\wp ,\Im )\left(\mathsf{\sigma }\right)|\hfill \\ & \le & \frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\sigma }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}|{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))|\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\sigma }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\hfill \\ & & |\wp \left(\mathrm{r}\right)|\mathrm{d}\mathrm{r}+\left((\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))\right)\frac{1}{\mathsf{\Delta }}[\frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\eta }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}\hfill \\ & & |{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))|\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\eta }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|\mathrm{d}\mathrm{r}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right)\hfill \\ & & {(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}|{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))|\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & +\frac{\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-2}|{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))|\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1-1)}\hfill \\ & & {\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-2}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|\mathrm{d}\mathrm{r}+|{\mathrm{I}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))|+\frac{\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}|{\mathrm{J}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))|)+{\mathrm{a}}_1{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}}\{\hfill \\ & & \frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\tau }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}|{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))|\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\tau }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\hfill \\ & & |\wp \left(\mathrm{r}\right)|\mathrm{d}\mathrm{r}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}|{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))|\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right)\hfill \\ & & {(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-2}|{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))|\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|\mathrm{d}\mathrm{r}+|{\mathrm{I}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))|+\frac{\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}|{\mathrm{J}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))|\left)\right\}\mathrm{d}\mathsf{\tau }+{\mathrm{a}}_2{\int }_{{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}}\hfill \\ & & \{\frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\tau }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}|{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))|\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\tau }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\hfill \\ & & |\wp \left(\mathrm{r}\right)|\mathrm{d}\mathrm{r}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}|{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))|\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right)\hfill \\ & & {(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-2}|{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))|\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|\mathrm{d}\mathrm{r}+|{\mathrm{I}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))|+\frac{\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}|{\mathrm{J}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))|\left)\right\}\mathrm{d}\mathsf{\tau }]+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\hfill \\ & & \frac{1}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}|{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))|\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\hfill \\ & & |\wp \left(\mathrm{r}\right)|\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-2}|{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))|\mathrm{d}\mathrm{s}\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_1(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1-1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-2}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|\mathrm{d}\mathrm{r}+|{\mathrm{I}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))|+\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}|{\mathrm{J}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))|).\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ccc}& & |{\mathcal{P}}_1(\wp ,\Im )\left(\mathsf{\sigma }\right)|\hfill \\ & \le & \frac{{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\theta }}_0\left(\mathrm{r}\right)+{\mathsf{\theta }}_1\left(\mathrm{r}\right)|\wp \left(\mathrm{r}\right)|+{\mathsf{\theta }}_2\left(\mathrm{r}\right)|\Im \left(\mathrm{r}\right)|)+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1+1)}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|+((\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))\hfill \\ & & +\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))\left)\frac{1}{|\mathsf{\Delta }|}\right[\frac{{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\theta }}_0\left(\mathrm{r}\right)+{\mathsf{\theta }}_1\left(\mathrm{r}\right)|\wp \left(\mathrm{r}\right)|+{\mathsf{\theta }}_2\left(\mathrm{r}\right)|\Im \left(\mathrm{r}\right)|)\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1+1)}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\theta }}_0\left(\mathrm{r}\right)+{\mathsf{\theta }}_1\left(\mathrm{r}\right)|\wp \left(\mathrm{r}\right)|+{\mathsf{\theta }}_2\left(\mathrm{r}\right)|\Im \left(\mathrm{r}\right)|)\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1+1)}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|+\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}({\mathsf{\theta }}_0\left(\mathrm{r}\right)+{\mathsf{\theta }}_1\left(\mathrm{r}\right)|\wp \left(\mathrm{r}\right)|\hfill \\ & & +{\mathsf{\theta }}_2\left(\mathrm{r}\right)|\Im \left(\mathrm{r}\right)|)+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|+{\mathrm{A}}_5|\wp \left(\mathsf{\sigma }\right)|+{\mathrm{N}}_1+\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}\hfill \\ & & ({\mathrm{A}}_6|\wp \left(\mathsf{\sigma }\right)|+{\mathrm{N}}_2\left)\right)+{\mathrm{a}}_1\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+2)}({\mathsf{\theta }}_0\left(\mathrm{r}\right)+{\mathsf{\theta }}_1\left(\mathrm{r}\right)|\wp \left(\mathrm{r}\right)|+{\mathsf{\theta }}_2\left(\mathrm{r}\right)|\Im \left(\mathrm{r}\right)|)\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1+1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1+2)}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})({\mathsf{\theta }}_0\left(\mathrm{r}\right)+{\mathsf{\theta }}_1\left(\mathrm{r}\right)|\wp \left(\mathrm{r}\right)|\hfill \\ & & +{\mathsf{\theta }}_2\left(\mathrm{r}\right)|\Im \left(\mathrm{r}\right)|)+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})|\wp \left(\mathrm{r}\right)|+\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}\hfill \\ & & ({\mathsf{\theta }}_0\left(\mathrm{r}\right)+{\mathsf{\theta }}_1\left(\mathrm{r}\right)|\wp \left(\mathrm{r}\right)|+{\mathsf{\theta }}_2\left(\mathrm{r}\right)|\Im \left(\mathrm{r}\right)|)+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|+({\mathrm{A}}_5|\wp \left(\mathrm{r}\right)|\hfill \\ & & +{\mathrm{N}}_1)({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})+\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)}({\mathrm{A}}_6|\wp \left(\mathrm{r}\right)|+{\mathrm{N}}_2\left)\right)+{\mathrm{a}}_2({\mathsf{\theta }}_0\left(\mathrm{r}\right)+{\mathsf{\theta }}_1\left(\mathrm{r}\right)|\wp \left(\mathrm{r}\right)|+{\mathsf{\theta }}_2\left(\mathrm{r}\right)|\Im \left(\mathrm{r}\right)|)\hfill \\ & & \frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}-{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+2)}+\hfill \\ & & \frac{{\mathsf{\alpha }}_1({(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1+1}-{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1+1})}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1+2)}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\hfill \\ & & -{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\left)\right({\mathsf{\theta }}_0\left(\mathrm{r}\right)+{\mathsf{\theta }}_1\left(\mathrm{r}\right)|\wp \left(\mathrm{r}\right)|+{\mathsf{\theta }}_2\left(\mathrm{r}\right)|\Im \left(\mathrm{r}\right)|)+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}-{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})|\wp \left(\mathrm{r}\right)|\hfill \\ & & +\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}\left\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}-\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\right\}({\mathsf{\theta }}_0\left(\mathrm{r}\right)+{\mathsf{\theta }}_1\left(\mathrm{r}\right)|\wp \left(\mathrm{r}\right)|+{\mathsf{\theta }}_2\left(\mathrm{r}\right)\hfill \\ & & |\Im \left(\mathrm{r}\right)|)+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}\left\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}-\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\right\}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|+({\mathrm{A}}_5|\wp \left(\mathrm{r}\right)|\hfill \\ & & +{\mathrm{N}}_1)({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}-{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})+\frac{({\mathrm{A}}_6|\wp \left(\mathrm{r}\right)|+{\mathrm{N}}_2)}{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}\left\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}-\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\right\}\left)\right]\hfill \\ & & +\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\theta }}_0\left(\mathrm{r}\right)+{\mathsf{\theta }}_1\left(\mathrm{r}\right)|\wp \left(\mathrm{r}\right)|+{\mathsf{\theta }}_2\left(\mathrm{r}\right)|\Im \left(\mathrm{r}\right)|)+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1+1)}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|\hfill \\ & & +\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}({\mathsf{\theta }}_0\left(\mathrm{r}\right)+{\mathsf{\theta }}_1\left(\mathrm{r}\right)|\wp \left(\mathrm{r}\right)|+{\mathsf{\theta }}_2\left(\mathrm{r}\right)|\Im \left(\mathrm{r}\right)|)\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_1(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|+({\mathrm{A}}_5|\wp \left(\mathrm{r}\right)|+{\mathrm{N}}_1)+\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}({\mathrm{A}}_6|\wp \left(\mathrm{r}\right)|+{\mathrm{N}}_2\left)\right).\hfill \end{array}$$

Let $|\wp \left(\mathrm{r}\right)|\le {\mathrm{s}}_1$ and $|\Im \left(\mathrm{r}\right)|\le {\mathrm{s}}_2$; then, we get

$$\begin{array}{ccc}& & |{\mathcal{P}}_1(\wp ,\Im )\left(\mathsf{\sigma }\right)|\hfill \\ & \le & \frac{{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\theta }}_0^{*}+{\mathsf{\theta }}_1^{*}{\mathrm{s}}_1+{\mathsf{\theta }}_2^{*}{\mathrm{s}}_2)+{\mathrm{s}}_1\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1+1)}+((\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\hfill \\ & & -\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right)\left)\right)\frac{1}{|\mathsf{\Delta }|}[\frac{{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\theta }}_0^{*}+{\mathsf{\theta }}_1^{*}{\mathrm{s}}_1+{\mathsf{\theta }}_2^{*}{\mathrm{s}}_2)+{\mathrm{s}}_1\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1+1)}\hfill \\ & & +\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\theta }}_0^{*}+{\mathsf{\theta }}_1^{*}{\mathrm{s}}_1+{\mathsf{\theta }}_2^{*}{\mathrm{s}}_2)+{\mathrm{s}}_1\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1+1)}+({\mathsf{\theta }}_0^{*}+{\mathsf{\theta }}_1^{*}{\mathrm{s}}_1+{\mathsf{\theta }}_2^{*}{\mathrm{s}}_2)\hfill \\ & & \frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}+{\mathrm{s}}_1\frac{{\mathsf{\alpha }}_1(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}+{\mathrm{A}}_5{\mathrm{s}}_1+{\mathrm{N}}_1\hfill \\ & & +({\mathrm{A}}_6{\mathrm{s}}_1+{\mathrm{N}}_2)\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)})+{\mathrm{a}}_1\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+2)}({\mathsf{\theta }}_0^{*}+{\mathsf{\theta }}_1^{*}{\mathrm{s}}_1+{\mathsf{\theta }}_2^{*}{\mathrm{s}}_2)\hfill \\ & & +{\mathrm{r}}_1\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1+1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1+2)}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})({\mathsf{\theta }}_0^{*}+{\mathsf{\theta }}_1^{*}{\mathrm{s}}_1+{\mathsf{\theta }}_2^{*}{\mathrm{s}}_2)\hfill \\ & & +{\mathrm{r}}_1\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})+\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}({\mathsf{\theta }}_0^{*}+{\mathsf{\theta }}_1^{*}{\mathrm{s}}_1+{\mathsf{\theta }}_2^{*}{\mathrm{s}}_2)\hfill \\ & & +{\mathrm{r}}_1\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}+({\mathrm{A}}_5{\mathrm{s}}_1+{\mathrm{N}}_1)({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})+({\mathrm{A}}_6{\mathrm{s}}_1+{\mathrm{N}}_2)\hfill \\ & & \frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)})+{\mathrm{a}}_2\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}-{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+2)}({\mathsf{\theta }}_0^{*}+{\mathsf{\theta }}_1^{*}{\mathrm{s}}_1+{\mathsf{\theta }}_2^{*}{\mathrm{s}}_2)\hfill \\ & & +{\mathrm{r}}_1\frac{{\mathsf{\alpha }}_1({(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1+1}-{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1+1})}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1+2)}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\hfill \\ & & -{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})({\mathsf{\theta }}_0^{*}+{\mathsf{\theta }}_1^{*}{\mathrm{s}}_1+{\mathsf{\theta }}_2^{*}{\mathrm{s}}_2)+{\mathrm{s}}_1\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}-{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})+\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}\hfill \\ & & \left\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}-\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\right\}({\mathsf{\theta }}_0^{*}+{\mathsf{\theta }}_1^{*}{\mathrm{s}}_1+{\mathsf{\theta }}_2^{*}{\mathrm{s}}_2)+{\mathrm{s}}_1\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}}{\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}\hfill \\ & & \left\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}-\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\right\}+({\mathrm{A}}_5{\mathrm{s}}_1+{\mathrm{N}}_1)({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}-{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})+\frac{({\mathrm{A}}_6{\mathrm{s}}_1+{\mathrm{N}}_2)}{\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}\hfill \\ & & \left\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}-\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\right\}\left)\right]+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\theta }}_0^{*}+{\mathsf{\theta }}_1^{*}{\mathrm{s}}_1+{\mathsf{\theta }}_2^{*}{\mathrm{s}}_2)\hfill \\ & & +{\mathrm{s}}_1\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\beta }}_1+1)}+\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}({\mathsf{\theta }}_0^{*}+{\mathsf{\theta }}_1^{*}{\mathrm{s}}_1+{\mathsf{\theta }}_2^{*}{\mathrm{s}}_2)\hfill \\ & & +{\mathrm{s}}_1\frac{{\mathsf{\alpha }}_1(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\mathsf{\Gamma }\left({\mathsf{\beta }}_1\right)}+({\mathrm{A}}_5{\mathrm{s}}_1+{\mathrm{N}}_1)+({\mathrm{A}}_6{\mathrm{s}}_1+{\mathrm{N}}_2)\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)})=F_1.\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{c}\hfill |{\mathcal{P}}_1(\wp ,\Im )\left(\mathsf{\sigma }\right)|\le F_1.\end{array}$$

Similarly,

$$\begin{array}{c}\hfill |{\mathcal{P}}_2(\wp ,\Im )\left(\mathsf{\sigma }\right)|\le F_2,\end{array}$$

where

$$\begin{array}{ccc}& & F_2=\hfill \\ & & \frac{{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\theta }}_3^{*}+{\mathsf{\theta }}_4^{*}{\mathrm{s}}_1+{\mathsf{\theta }}_5^{*}{\mathrm{s}}_2)+{\mathrm{s}}_2\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_1+1)}+((\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))\hfill \\ & & +\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right)))\hfill \\ & & \frac{1}{|\Delta |}[\frac{{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\theta }}_3^{*}+{\mathsf{\theta }}_4^{*}{\mathrm{s}}_1+{\mathsf{\theta }}_5^{*}{\mathrm{s}}_2)+{\mathrm{s}}_2\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_1+1)}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}\hfill \\ & & ({\mathsf{\theta }}_3^{*}+{\mathsf{\theta }}_4^{*}{\mathrm{s}}_1+{\mathsf{\theta }}_5^{*}{\mathrm{s}}_2)+{\mathrm{s}}_2\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_1+1)}+\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}({\mathsf{\theta }}_3^{*}+{\mathsf{\theta }}_4^{*}{\mathrm{s}}_1+{\mathsf{\theta }}_5^{*}{\mathrm{s}}_2)\hfill \\ & & +{\mathrm{s}}_2\frac{{\mathsf{\alpha }}_1(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_1\right)}+{\mathrm{A}}_7{\mathrm{s}}_2+{\mathrm{N}}_3+({\mathrm{A}}_8{\mathrm{s}}_2+{\mathrm{N}}_4)\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)})\hfill \\ & & +{\mathrm{a}}_1\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+2)}({\mathsf{\theta }}_3^{*}+{\mathsf{\theta }}_4^{*}{\mathrm{s}}_1+{\mathsf{\theta }}_5^{*}{\mathrm{s}}_2)+{\mathrm{s}}_2\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1+1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\Gamma ({\mathsf{\beta }}_1+2)}\hfill \\ & & +\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})({\mathsf{\theta }}_3^{*}+{\mathsf{\theta }}_4^{*}{\mathrm{s}}_1+{\mathsf{\theta }}_5^{*}{\mathrm{s}}_2)\hfill \\ & & +{\mathrm{s}}_2\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})+\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}\hfill \\ & & ({\mathsf{\theta }}_3^{*}+{\mathsf{\theta }}_4^{*}{\mathrm{s}}_1+{\mathsf{\theta }}_5^{*}{\mathrm{s}}_2)+{\mathrm{s}}_2\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_1\right)}+({\mathrm{A}}_7{\mathrm{s}}_2+{\mathrm{N}}_3)({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})+({\mathrm{A}}_8{\mathrm{s}}_2+{\mathrm{N}}_4)\hfill \\ & & \frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)})+{\mathrm{a}}_2\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}-{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+2)}({\mathsf{\theta }}_3^{*}+{\mathsf{\theta }}_4^{*}{\mathrm{s}}_1+{\mathsf{\theta }}_5^{*}{\mathrm{s}}_2)\hfill \\ & & +{\mathrm{s}}_2\frac{{\mathsf{\alpha }}_1({(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1+1}-{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1+1})}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_1+2)}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}-{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})\hfill \\ & & ({\mathsf{\theta }}_3^{*}+{\mathsf{\theta }}_4^{*}{\mathrm{s}}_1+{\mathsf{\theta }}_5^{*}{\mathrm{s}}_2)+{\mathrm{s}}_2\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}-{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})+\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}\hfill \\ & & \left\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}-\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\right\}({\mathsf{\theta }}_3^{*}+{\mathsf{\theta }}_4^{*}{\mathrm{s}}_1+{\mathsf{\theta }}_5^{*}{\mathrm{s}}_2)+{\mathrm{s}}_2\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}}{\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_1\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}\hfill \\ & & \left\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}-\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\right\}+({\mathrm{A}}_7{\mathrm{s}}_2+{\mathrm{N}}_3)({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}-{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})+\frac{({\mathrm{A}}_8{\mathrm{s}}_2+{\mathrm{N}}_4)}{\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}\hfill \\ & & \left\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}-\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\right\}\left)\right]+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\theta }}_3^{*}+{\mathsf{\theta }}_4^{*}{\mathrm{s}}_1+{\mathsf{\theta }}_5^{*}{\mathrm{s}}_2)\hfill \\ & & +{\mathrm{s}}_2\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_1+1)}+\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}({\mathsf{\theta }}_3^{*}+{\mathsf{\theta }}_4^{*}{\mathrm{s}}_1+{\mathsf{\theta }}_5^{*}{\mathrm{s}}_2)\hfill \\ & & +{\mathrm{s}}_2\frac{{\mathsf{\alpha }}_1(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_1\right)}+({\mathrm{A}}_7{\mathrm{s}}_2+{\mathrm{N}}_3)+({\mathrm{A}}_8{\mathrm{s}}_2+{\mathrm{N}}_4)\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}).\hfill \end{array}$$

Now, let $max\{F_1,F_2\}=F$. Then, we have

$$\begin{array}{c}\hfill {||\mathcal{P}(\wp ,\Im )||}_{{\mathrm{X}}^{{}^{\prime }}\times {\mathrm{Y}}^{{}^{\prime }}}\le F.\end{array}$$

The aforementioned inequality indicates the boundedness of the operator $\mathcal{P}$. The operator $\mathcal{P}$ must then be demonstrated to be equicontinuous. For this, let ${\mathsf{\omega }}_1$, ${\mathsf{\omega }}_2$$\in {\mathrm{J}}_{\mathrm{k}}$ such that ${\mathsf{\omega }}_1<{\mathsf{\omega }}_2$, where $\mathrm{k}=0,1,\dots ,\mathrm{p}$.

Let $(\wp ,\Im )\in {\mathrm{Q}}_{\mathrm{s}}$; then, we have

$$\begin{array}{ccc}& & |{\mathcal{P}}_1(\wp ,\Im )\left({\mathsf{\omega }}_2\right)-{\mathcal{P}}_1(\wp ,\Im )\left({\mathsf{\omega }}_1\right)|\hfill \\ & \le & \frac{1}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}|{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{{\mathsf{\omega }}_2}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\omega }}_2\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))\mathrm{d}\mathrm{r}-{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{{\mathsf{\omega }}_1}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right)(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\omega }}_1\right)\hfill \\ & & {-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))\mathrm{d}\mathrm{r}|+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_1\right)}|{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{{\mathsf{\omega }}_2}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\omega }}_2\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}-\hfill \\ & & {\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{{\mathsf{\omega }}_1}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\omega }}_1\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}|+\{\left((\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\omega }}_2\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))\right)\hfill \\ & & -\left((\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\omega }}_1\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))\right)\left\}\frac{1}{|\Delta |}\right[\frac{1}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}{}^{\mathsf{\eta }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right)(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)\hfill \\ & & {-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}|{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))|\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\eta }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & +\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{1}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}|{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))|\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_1\right)}\hfill \\ & & {\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right)(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\hfill \\ & & {-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-2}|{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))|\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma ({\mathsf{\beta }}_1-1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-2}\hfill \\ & & |\wp \left(\mathrm{r}\right)|\mathrm{d}\mathrm{r}+|{\mathrm{I}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))|+\frac{\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}|{\mathrm{J}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))|)+{\mathrm{a}}_1{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}}\{\frac{1}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\tau }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right)\hfill \\ & & {(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}|{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))|\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\tau }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\hfill \\ & & |\wp \left(\mathrm{r}\right)|\mathrm{d}\mathrm{r}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{1}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}|{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))|\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right)(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\hfill \\ & & {-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-2}|{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))|\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & +|{\mathrm{I}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))|+\frac{\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}|{\mathrm{J}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))|)\}\mathrm{d}\mathsf{\tau }+{\mathrm{a}}_2{\int }_{{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}}\{\frac{1}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\tau }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right)(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)\hfill \\ & & {-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}|{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))|\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\tau }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & +\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{1}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}|{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))|\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_1\right)}\hfill \\ & & {\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right)(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\hfill \\ & & {-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-2}|{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))|\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & +|{\mathrm{I}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))|+\frac{\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}|{\mathrm{J}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))|)\left\}\mathrm{d}\mathsf{\tau }\right]+|\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{1}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right)(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\hfill \\ & & {-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))\mathrm{d}\mathrm{r}-\frac{1}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right)(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\hfill \\ & & {-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & -\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\left(\frac{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\omega }}_2\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))-(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\omega }}_1\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1)}\right)\hfill \\ & & {\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-2}{\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma ({\mathsf{\beta }}_1-1)}\left(\right(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\omega }}_2\right)\hfill \\ & & -\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))-(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\omega }}_1\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))){\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-2}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+{\mathrm{I}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))\hfill \\ & & -{\mathrm{I}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))+\left(\frac{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\omega }}_2\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))-(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\omega }}_1\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{\mathrm{J}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))\right)|.\hfill \end{array}$$

From above inequality, if ${\mathsf{\omega }}_1\to {\mathsf{\omega }}_2$, we can deduce that

$$\begin{array}{c}\hfill |{\mathcal{P}}_1(\wp ,\Im )\left({\mathsf{\omega }}_2\right)-{\mathcal{P}}_1(\wp ,\Im )\left({\mathsf{\omega }}_1\right)|⟶0.\end{array}$$

In the same way, we can prove that

$$\begin{array}{c}\hfill |{\mathcal{P}}_2(\wp ,\Im )\left({\mathsf{\omega }}_2\right)-{\mathcal{P}}_2(\wp ,\Im )\left({\mathsf{\omega }}_1\right)|⟶0.\end{array}$$

Therefore, ${\mathcal{P}}_1$ and ${\mathcal{P}}_2$ are completely continuous according to the Arzila–Ascoli theorem. Thus, $\mathcal{P}$ is completely continuous.

Now, let us define a set:

$$\begin{array}{c}\hfill \mathrm{G}=\{(\wp ,\Im )\in {\mathrm{X}}^{{}^{\prime }}\times {\mathrm{Y}}^{{}^{\prime }};(\wp ,\Im )=\mathsf{\lambda }\mathcal{P}(\wp ,\Im );0<\mathsf{\lambda }<1\}.\end{array}$$

We need to prove that the set G is bounded. For $\mathsf{\sigma }\in \mathcal{J}$ and $(\wp ,\Im )\in \mathrm{G}$, then $(\wp ,\Im )=\mathsf{\lambda }\mathcal{P}(\wp ,\Im )$, i.e.,

$\wp \left(\mathsf{\sigma }\right)=\mathsf{\lambda }{\mathcal{P}}_1(\wp ,\Im )$ and $\Im \left(\mathsf{\sigma }\right)=\mathsf{\lambda }{\mathcal{P}}_2(\wp ,\Im )$. Now,

$$\begin{array}{c}\hfill |\wp \left(\mathsf{\sigma }\right)|=|\mathsf{\lambda }{\mathcal{P}}_1(\wp ,\Im )|.\end{array}$$

$$\begin{array}{ccc}& & |\wp (\mathsf{\sigma })|\hfill \\ & \le & \mathsf{\lambda }[\frac{{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\theta }}_0^{*}+{\mathsf{\theta }}_1^{*}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|+{\mathsf{\theta }}_2^{*}|\Im \left(\mathrm{r}\right)|)+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_1+1)}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|+((\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))\hfill \\ & & +\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))\left)\frac{1}{|\Delta |}\right\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\theta }}_0^{*}+{\mathsf{\theta }}_1^{*}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|+{\mathsf{\theta }}_2^{*}|\Im \left(\mathrm{r}\right)|)+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_1+1)}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|\hfill \\ & & +\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\theta }}_0^{*}+{\mathsf{\theta }}_1^{*}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|+{\mathsf{\theta }}_2^{*}|\Im \left(\mathrm{r}\right)|)+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_1+1)}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|\hfill \\ & & +\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}({\mathsf{\theta }}_0^{*}+{\mathsf{\theta }}_1^{*}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|+{\mathsf{\theta }}_2^{*}|\Im \left(\mathrm{r}\right)|)+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_1\right)}\hfill \\ & & |\wp \left(\mathrm{r}\right)|+{\mathrm{A}}_5|\wp \left(\mathsf{\sigma }\right)|+{\mathrm{N}}_1+\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}({\mathrm{A}}_6|\wp \left(\mathsf{\sigma }\right)|+{\mathrm{N}}_2\left)\right)+{\mathrm{a}}_1\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+2)}({\mathsf{\theta }}_0^{*}+{\mathsf{\theta }}_1^{*}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|\hfill \\ & & +{\mathsf{\theta }}_2^{*}|\Im \left(\mathrm{r}\right)|)+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1+1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\Gamma ({\mathsf{\beta }}_1+2)}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})({\mathsf{\theta }}_0^{*}+{\mathsf{\theta }}_1^{*}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|\hfill \\ & & +{\mathsf{\theta }}_2^{*}|\Im \left(\mathrm{r}\right)|)+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})|\wp \left(\mathrm{r}\right)|+\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}({\mathsf{\theta }}_0^{*}\hfill \\ & & +{\mathsf{\theta }}_1^{*}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|+{\mathsf{\theta }}_2^{*}|\Im \left(\mathrm{r}\right)|)+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_1\right)}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|+({\mathrm{A}}_5|\wp \left(\mathrm{r}\right)|+{\mathrm{N}}_1)({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})+\hfill \\ & & \frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)}({\mathrm{A}}_6|\wp \left(\mathrm{r}\right)|+{\mathrm{N}}_2\left)\right)+{\mathrm{a}}_2\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}-{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+2)}\hfill \\ & & ({\mathsf{\theta }}_0^{*}+{\mathsf{\theta }}_1^{*}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|+{\mathsf{\theta }}_2^{*}|\Im \left(\mathrm{r}\right)|)+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1({(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1+1}-{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1+1})}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_1+2)}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|\hfill \\ & & +\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}-{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})({\mathsf{\theta }}_0^{*}+{\mathsf{\theta }}_1^{*}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|+{\mathsf{\theta }}_2^{*}|\Im \left(\mathrm{r}\right)|)+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\hfill \\ & & -{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})|\wp \left(\mathrm{r}\right)|+\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}\left\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}-\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\right\}({\mathsf{\theta }}_0^{*}+{\mathsf{\theta }}_1^{*}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|\hfill \\ & & +{\mathsf{\theta }}_2^{*}|\Im \left(\mathrm{r}\right)|)+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}}{\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_1\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}\left\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}-\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\right\}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|+({\mathrm{A}}_5|\wp \left(\mathrm{r}\right)|\hfill \\ & & +{\mathrm{N}}_1)({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}-{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})+\frac{({\mathrm{A}}_6|\wp \left(\mathrm{r}\right)|+{\mathrm{N}}_2)}{\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}\left\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}-\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\right\}\left)\right\}\hfill \\ & & +\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\theta }}_0^{*}+{\mathsf{\theta }}_1^{*}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|+{\mathsf{\theta }}_2^{*}|\Im \left(\mathrm{r}\right)|)+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_1+1)}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|+\hfill \\ & & \frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}({\mathsf{\theta }}_0^{*}+{\mathsf{\theta }}_1^{*}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|+{\mathsf{\theta }}_2^{*}|\Im \left(\mathrm{r}\right)|)+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_1\right)}\hfill \\ & & |\wp \left(\mathrm{r}\right)|+({\mathrm{A}}_5|\wp \left(\mathrm{r}\right)|+{\mathrm{N}}_1)+\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}({\mathrm{A}}_6|\wp \left(\mathrm{r}\right)|+{\mathrm{N}}_2\left)\right).\hfill \end{array}$$

Let

$$\begin{array}{ccc}& & {\mathcal{M}}^{*}=\hfill \\ & & \mathsf{\lambda }[{\mathsf{\theta }}_1^{*}\frac{{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_1+1)}+\left((\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))\right)\hfill \\ & & \frac{1}{|\Delta |}\{{\mathsf{\theta }}_1^{*}\frac{{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_1+1)}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}({\mathsf{\theta }}_1^{*}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_1+1)}+{\mathsf{\theta }}_1^{*}\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_1(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_1\right)}+{\mathrm{A}}_5+{\mathrm{A}}_6\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)})+{\mathrm{a}}_1{\mathsf{\theta }}_1^{*}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+2)}\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1+1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\Gamma ({\mathsf{\beta }}_1+2)}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}({\mathsf{\theta }}_1^{*}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})\hfill \\ & & +{\mathsf{\theta }}_1^{*}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_1\right)}+{\mathrm{A}}_5({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})\hfill \\ & & +{\mathrm{A}}_6\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)})+{\mathrm{a}}_2{\mathsf{\theta }}_1^{*}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}-{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+2)}\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_1({(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1+1}-{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1+1})}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_1+2)}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}({\mathsf{\theta }}_1^{*}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}-{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}-{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})+{\mathsf{\theta }}_1^{*}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}\hfill \\ & & -\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}}{\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_1\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}\left\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}-\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\right\}\hfill \\ & & +{\mathrm{A}}_5({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}-{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})+\frac{{\mathrm{A}}_6}{\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}\left\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}-\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\right\}\left)\right\}\hfill \\ & & +\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}({\mathsf{\theta }}_1^{*}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_1+1)}+{\mathsf{\theta }}_1^{*}\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_1(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_1\right)}+{\mathrm{A}}_5+{\mathrm{A}}_6\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}).\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ccc}& & |\wp (\mathsf{\sigma })|\hfill \\ & \le & \frac{\mathsf{\lambda }}{1-{\mathcal{M}}^{*}}[\frac{{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\theta }}_0^{*}+{\mathsf{\theta }}_2^{*}|\Im \left(\mathrm{r}\right)|)+\left((\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))\right)\hfill \\ & & \frac{1}{|\Delta |}\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\theta }}_0^{*}+{\mathsf{\theta }}_2^{*}|\Im \left(\mathrm{r}\right)|)+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\theta }}_0^{*}+{\mathsf{\theta }}_2^{*}|\Im \left(\mathrm{r}\right)|)\hfill \\ & & +\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}({\mathsf{\theta }}_0^{*}+{\mathsf{\theta }}_2^{*}|\Im \left(\mathrm{r}\right)|)+{\mathrm{N}}_1+{\mathrm{N}}_2\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)})\hfill \\ & & +{\mathrm{a}}_1\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+2)}({\mathsf{\theta }}_0^{*}+{\mathsf{\theta }}_2^{*}|\Im \left(\mathrm{r}\right)|)+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})({\mathsf{\theta }}_0^{*}+{\mathsf{\theta }}_2^{*}|\Im \left(\mathrm{r}\right)|)\hfill \\ & & +\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}({\mathsf{\theta }}_0^{*}+{\mathsf{\theta }}_2^{*}|\Im \left(\mathrm{r}\right)|)+{\mathrm{N}}_1({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})+{\mathrm{N}}_2\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)})\hfill \\ & & +{\mathrm{a}}_2\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}-{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+2)}({\mathsf{\theta }}_0^{*}+{\mathsf{\theta }}_2^{*}|\Im \left(\mathrm{r}\right)|)+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}\hfill \\ & & ({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}-{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})({\mathsf{\theta }}_0^{*}+{\mathsf{\theta }}_2^{*}|\Im \left(\mathrm{r}\right)|)+\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}\left\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}-\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\right\}\hfill \\ & & ({\mathsf{\theta }}_0^{*}+{\mathsf{\theta }}_2^{*}|\Im \left(\mathrm{r}\right)|)+{\mathrm{N}}_1({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}-{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})+\frac{{\mathrm{N}}_2}{\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}\left\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}-\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\right\}\left)\right\}\hfill \\ & & +\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\theta }}_0^{*}+{\mathsf{\theta }}_2^{*}|\Im \left(\mathrm{r}\right)|)+\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}({\mathsf{\theta }}_0^{*}+{\mathsf{\theta }}_2^{*}|\Im \left(\mathrm{r}\right)|)\hfill \\ & & +{\mathrm{N}}_1+{\mathrm{N}}_2\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)})={\mathcal{Z}}_1.\hfill \end{array}$$

Thus, there exists a positive constant ${\mathcal{Z}}_1$, such that ${||\wp ||}_{{\mathrm{X}}^{{}^{\prime }}}\le {\mathcal{Z}}_1$.

Similarly, there exists ${\mathcal{Z}}_2$ such that ${||\Im ||}_{{\mathrm{Y}}^{{}^{\prime }}}\le {\mathcal{Z}}_2$, where

$$\begin{array}{ccc}& & {\mathcal{Z}}_2=\hfill \\ & & \frac{\mathsf{\lambda }}{1-{\mathcal{N}}^{*}}[\frac{{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1)}({\mathsf{\theta }}_3^{*}+{\mathsf{\theta }}_4^{*}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|)+\left((\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))\right)\hfill \\ & & \times \frac{1}{|\Delta |}\left\{\right({\mathsf{\theta }}_3^{*}+{\mathsf{\theta }}_4^{*}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|)\frac{{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1)}\hfill \\ & & +\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1)}({\mathsf{\theta }}_3^{*}+{\mathsf{\theta }}_4^{*}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|)+\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}\hfill \\ & & ({\mathsf{\theta }}_3^{*}+{\mathsf{\theta }}_4^{*}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|)+{\mathrm{N}}_3+{\mathrm{N}}_4\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)})+{\mathrm{a}}_1\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+2)}({\mathsf{\theta }}_3^{*}+{\mathsf{\theta }}_4^{*}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|)\hfill \\ & & +\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1)}({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})({\mathsf{\theta }}_3^{*}+{\mathsf{\theta }}_4^{*}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|)+\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1}{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}({\mathsf{\theta }}_3^{*}+{\mathsf{\theta }}_4^{*}\hfill \\ & & |\wp \left(\mathrm{r}\right)|)+{\mathrm{N}}_3({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})+{\mathrm{N}}_4\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)})+{\mathrm{a}}_2\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1}-{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+2)}\hfill \\ & & ({\mathsf{\theta }}_3^{*}+{\mathsf{\theta }}_4^{*}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|)+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1)}({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}-{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})({\mathsf{\theta }}_3^{*}+{\mathsf{\theta }}_4^{*}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|)+\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}\hfill \\ & & \left\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}-\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\right\}({\mathsf{\theta }}_3^{*}+{\mathsf{\theta }}_4^{*}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|)+{\mathrm{N}}_3({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}-{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})+\frac{{\mathrm{N}}_4}{\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}\hfill \\ & & -\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\left\}\right)\}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1)}({\mathsf{\theta }}_3^{*}+{\mathsf{\theta }}_4^{*}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|)+({\mathsf{\theta }}_3^{*}+{\mathsf{\theta }}_4^{*}|\wp \left(\mathrm{r}\right)|)\hfill \\ & & \frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}+{\mathrm{N}}_3+{\mathrm{N}}_4\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}).\hfill \end{array}$$

and

$$\begin{array}{ccc}& & {\mathcal{N}}^{*}=\hfill \\ & & \mathsf{\lambda }[{\mathsf{\theta }}_5^{*}\frac{{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1)}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_2{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2}}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_2+1)}+\left((\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))\right)\frac{1}{|\Delta |}\{{\mathsf{\theta }}_5^{*}\hfill \\ & & \frac{{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1)}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_2{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2}}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_2+1)}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}({\mathsf{\theta }}_5^{*}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1)}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_2{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2}}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_2+1)}\hfill \\ & & +{\mathsf{\theta }}_5^{*}\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_2(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_2\right)}+{\mathrm{A}}_7+{\mathrm{A}}_8\hfill \\ & & \frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)})+{\mathrm{a}}_1{\mathsf{\theta }}_5^{*}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+2)}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_2{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2+1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\Gamma ({\mathsf{\beta }}_2+2)}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}({\mathsf{\theta }}_5^{*}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1)}\hfill \\ & & ({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})+\frac{{\mathsf{\alpha }}_2{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2}}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_2+1)}({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})+{\mathsf{\theta }}_5^{*}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1}{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_2{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2-1}{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_2\right)}+{\mathrm{A}}_7({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})+{\mathrm{A}}_8\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)})\hfill \\ & & +{\mathrm{a}}_2{\mathsf{\theta }}_5^{*}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1}-{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+2)}\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_2({(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2+1}-{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2+1})}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_2+2)}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}({\mathsf{\theta }}_5^{*}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1)}({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}-{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_2{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2}}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_2+1)}({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}-{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})+{\mathsf{\theta }}_5^{*}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}\hfill \\ & & -\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_2{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2-1}}{\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_2\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}\left\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}-\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\right\}\hfill \\ & & +{\mathrm{A}}_7({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}-{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})+\frac{{\mathrm{A}}_8}{\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}\left\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}-\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\right\}\left)\right\}\hfill \\ & & +\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}({\mathsf{\theta }}_5^{*}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1)}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_2{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2}}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_2+1)}+{\mathsf{\theta }}_5^{*}\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_2(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_2\right)}+{\mathrm{A}}_7+{\mathrm{A}}_8\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}).\hfill \end{array}$$

Let $max\{{\mathcal{Z}}_1,{\mathcal{Z}}_2\}=\mathcal{Z}$. Then, we have ${||(\wp ,\Im )||}_{{\mathrm{X}}^{{}^{\prime }}\times {\mathrm{Y}}^{{}^{\prime }}}\le \mathcal{Z}$.

Thus, the set G is bounded, and the operator $\mathcal{P}$ has at least one fixed point according to Schaefer’s fixed point theorem., i.e., the problem (1) has at least one solution. □

5. Ulam’s Stability Results

This section is concerned with the Ulam–Hyers stability of problem (1). First, we present some definitions introduced in [25].

Definition 4. 

For $\mathsf{ϵ}=max\{{\mathsf{ϵ}}_1,{\mathsf{ϵ}}_2\}$, consider the system of inequalities

$$\begin{array}{c}\hfill \left\{\begin{array}{c}|{}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},\mathsf{\sigma }}^{{\mathsf{\gamma }}_1;\mathsf{\psi }}({}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},\mathsf{\sigma }}^{{\mathsf{\beta }}_1;\mathsf{\psi }}+{\mathsf{\alpha }}_1)\wp \left(\mathsf{\sigma }\right)-{\mathrm{F}}_1(\mathsf{\sigma },\wp \left(\mathsf{\sigma }\right),\Im \left(\mathsf{\sigma }\right))|<{\mathsf{ϵ}}_1,\mathsf{\sigma }\in ({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}],\hfill \\ |\Delta \wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right)-{\mathrm{I}}_{\mathrm{k}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))|<{\mathsf{ϵ}}_1,\mathrm{k}=1,2,\dots ,\mathrm{p},\hfill \\ |\Delta {\wp }^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right)-{\mathrm{J}}_{\mathrm{k}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))|<{\mathsf{ϵ}}_1.\hfill \\ |{}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},\mathsf{\sigma }}^{{\mathsf{\gamma }}_2;\mathsf{\psi }}({}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},\mathsf{\sigma }}^{{\mathsf{\beta }}_2;\mathsf{\psi }}+{\mathsf{\alpha }}_2)\Im \left(\mathsf{\sigma }\right)-{\mathrm{F}}_2(\mathsf{\sigma },\wp \left(\mathsf{\sigma }\right),\Im \left(\mathsf{\sigma }\right))|<{\mathsf{ϵ}}_2,\mathsf{\sigma }\in ({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}],\hfill \\ |\Delta \Im \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right)-{\mathrm{I}}_{\mathrm{k}}^{*}(\Im \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))|<{\mathsf{ϵ}}_1,\mathrm{k}=1,2,\dots ,\mathrm{p},\hfill \\ |\Delta {\Im }^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right)-{\mathrm{J}}_{\mathrm{k}}^{*}(\Im \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))|<{\mathsf{ϵ}}_1.\hfill \end{array}\right.\end{array}$$

(9)

The system (1) is called Ulam–Hyers stable if we can find $\mathsf{\vartheta }>0$ such that, for each solution $(\overline{\wp },\overline{\Im })\in {\mathrm{X}}^{{}^{\prime }}\times {\mathrm{Y}}^{{}^{\prime }}$ of $\left(9\right)$, there exists a solution $(\wp ,\Im )\in {\mathrm{X}}^{{}^{\prime }}\times {\mathrm{Y}}^{{}^{\prime }}$ of the system $\left(1\right)$ satisfying $||(\overline{\wp },\overline{\Im })-(\wp ,\Im )||\le \mathsf{\vartheta }\mathsf{ϵ}$.

Remark 1. 

$(\overline{\wp },\overline{\Im })\in {\mathrm{X}}^{{}^{\prime }}\times {\mathrm{Y}}^{{}^{\prime }}$ is a solution of the system of inequalities (9) if and only if there exist functions $\mathsf{\varphi },{\mathsf{\varphi }}^{*}\in \mathrm{C}(({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}],\mathbb{R})$ such that $|\mathsf{\varphi }|\le {\mathsf{ϵ}}_1$ and $|{\mathsf{\varphi }}^{*}|\le {\mathsf{ϵ}}_2$, $\mathsf{\sigma }\in ({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}]$ and

$$\begin{array}{c}\hfill \left\{\begin{array}{c}{}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},\mathsf{\sigma }}^{{\mathsf{\gamma }}_1;\mathsf{\psi }}({}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},\mathsf{\sigma }}^{{\mathsf{\beta }}_1;\mathsf{\psi }}+{\mathsf{\alpha }}_1)\wp \left(\mathsf{\sigma }\right)={\mathrm{F}}_1(\mathsf{\sigma },\wp \left(\mathsf{\sigma }\right),\Im \left(\mathsf{\sigma }\right))+\mathsf{\varphi }\left(\mathsf{\sigma }\right),\mathsf{\sigma }\in ({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}],\mathrm{k}=0,1,\dots ,\mathrm{p},\hfill \\ \Delta \wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right)={\mathrm{I}}_{\mathrm{k}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))+{\mathsf{\varphi }}_{\mathrm{k}}\left(\mathsf{\sigma }\right),\mathrm{k}=1,2,\dots ,\mathrm{p},\hfill \\ \Delta {\wp }^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right)={\mathrm{J}}_{\mathrm{k}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))+{\mathsf{\varphi }}_{\mathrm{k}}\left(\mathsf{\sigma }\right).\hfill \\ {}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},\mathsf{\sigma }}^{{\mathsf{\gamma }}_2;\mathsf{\psi }}({}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},\mathsf{\sigma }}^{{\mathsf{\beta }}_2;\mathsf{\psi }}+{\mathsf{\alpha }}_2)\Im \left(\mathsf{\sigma }\right)={\mathrm{F}}_2(\mathsf{\sigma },\wp \left(\mathsf{\sigma }\right),\Im \left(\mathsf{\sigma }\right))+{\mathsf{\varphi }}^{*}\left(\mathsf{\sigma }\right),\mathsf{\sigma }\in ({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}],\mathrm{k}=0,1,\dots ,\mathrm{p},\hfill \\ \Delta \Im \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right)={\mathrm{I}}_{\mathrm{k}}^{*}(\Im \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))+{\mathsf{\varphi }}_{\mathrm{k}}^{*}\left(\mathsf{\sigma }\right),\mathrm{k}=1,2,\dots ,\mathrm{p},\hfill \\ \Delta {\mathrm{y}}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right)={\mathrm{J}}_{\mathrm{k}}^{*}(\Im \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))+{\mathsf{\varphi }}_{\mathrm{k}}^{*}\left(\mathsf{\sigma }\right).\hfill \end{array}\right.\end{array}$$

(10)

Theorem 3. 

System ((1)) is Ulam–Hyers stable if $\left({\mathrm{H}}_1\right)$ and $\left({\mathrm{H}}_2\right)$ are met.

Proof. 

Suppose that $(\overline{\wp },\overline{\Im })\in {\mathrm{X}}^{{}^{\prime }}\times {\mathrm{Y}}^{{}^{\prime }}$ is the solution of the following inequality:

$$\begin{array}{c}\hfill \left\{\begin{array}{c}|{}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},\mathsf{\sigma }}^{{\mathsf{\gamma }}_1;\mathsf{\psi }}({}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},\mathsf{\sigma }}^{{\mathsf{\beta }}_1;\mathsf{\psi }}+{\mathsf{\alpha }}_1)\wp \left(\mathsf{\sigma }\right)-{\mathrm{F}}_1(\mathsf{\sigma },\wp \left(\mathsf{\sigma }\right),\Im \left(\mathsf{\sigma }\right))|<{\mathsf{ϵ}}_1,\mathsf{\sigma }\in ({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}],\hfill \\ |\Delta \wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right)-{\mathrm{I}}_{\mathrm{k}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))|<{\mathsf{ϵ}}_1,\mathrm{k}=1,2,\dots ,\mathrm{p},\hfill \\ |\Delta {\wp }^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right)-{\mathrm{J}}_{\mathrm{k}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))|<{\mathsf{ϵ}}_1.\hfill \\ |{}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},\mathsf{\sigma }}^{{\mathsf{\gamma }}_2;\mathsf{\psi }}({}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},\mathsf{\sigma }}^{{\mathsf{\beta }}_2;\mathsf{\psi }}+{\mathsf{\alpha }}_2)\Im \left(\mathsf{\sigma }\right)-{\mathrm{F}}_2(\mathsf{\sigma },\wp \left(\mathsf{\sigma }\right),\Im \left(\mathsf{\sigma }\right))|<{\mathsf{ϵ}}_2,\mathsf{\sigma }\in ({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}],\hfill \\ |\Delta \Im \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right)-{\mathrm{I}}_{\mathrm{k}}^{*}(\Im \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))|<{\mathsf{ϵ}}_1,\mathrm{k}=1,2,\dots ,\mathrm{p},\hfill \\ |\Delta {\Im }^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right)-{\mathrm{J}}_{\mathrm{k}}^{*}(\Im \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))|<{\mathsf{ϵ}}_1.\hfill \end{array}\right.\end{array}$$

(11)

From inequality (11)

$$\begin{array}{c}\hfill \left\{\begin{array}{c}{}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},\mathsf{\sigma }}^{{\mathsf{\gamma }}_1;\mathsf{\psi }}({}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},\mathsf{\sigma }}^{{\mathsf{\beta }}_1;\mathsf{\psi }}+{\mathsf{\alpha }}_1)\wp \left(\mathsf{\sigma }\right)={\mathrm{F}}_1(\mathsf{\sigma },\wp \left(\mathsf{\sigma }\right),\Im \left(\mathsf{\sigma }\right))+\mathsf{\varphi }\left(\mathsf{\sigma }\right),\mathsf{\sigma }\in ({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}],\mathrm{k}=0,1,\dots ,\mathrm{p},\hfill \\ \Delta \wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right)={\mathrm{I}}_{\mathrm{k}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))+{\mathsf{\varphi }}_{\mathrm{k}}\left(\mathsf{\sigma }\right),\mathrm{k}=1,2,\dots ,\mathrm{p},\hfill \\ \Delta {\wp }^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right)={\mathrm{J}}_{\mathrm{k}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))+{\mathsf{\varphi }}_{\mathrm{k}}\left(\mathsf{\sigma }\right).\hfill \\ {}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},\mathsf{\sigma }}^{{\mathsf{\gamma }}_2;\mathsf{\psi }}({}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},\mathsf{\sigma }}^{{\mathsf{\beta }}_2;\mathsf{\psi }}+{\mathsf{\alpha }}_2)\Im \left(\mathsf{\sigma }\right)={\mathrm{F}}_2(\mathsf{\sigma },\wp \left(\mathsf{\sigma }\right),\Im \left(\mathsf{\sigma }\right))+{\mathsf{\varphi }}^{*}\left(\mathsf{\sigma }\right),\mathsf{\sigma }\in ({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}},{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}],\mathrm{k}=0,1,\dots ,\mathrm{p},\hfill \\ \Delta \Im \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right)={\mathrm{I}}_{\mathrm{k}}^{*}(\Im \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))+{\mathsf{\varphi }}_{\mathrm{k}}^{*}\left(\mathsf{\sigma }\right),\mathrm{k}=1,2,\dots ,\mathrm{p},\hfill \\ \Delta {\Im }^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right)={\mathrm{J}}_{\mathrm{k}}^{*}(\Im \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))+{\mathsf{\varphi }}_{\mathrm{k}}^{*}\left(\mathsf{\sigma }\right).\hfill \end{array}\right.\end{array}$$

(12)

Using Lemma 1, we get:

$$\begin{array}{ccc}& & \overline{\wp }\left(\mathsf{\sigma }\right)=\hfill \\ & & \frac{1}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\sigma }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}({\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))+\mathsf{\varphi }\left(\mathrm{r}\right))\mathrm{d}\mathrm{r}-\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\sigma }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\hfill \\ & & \wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\left((\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))\right).\frac{1}{\Delta }[\frac{1}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\eta }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}\left({\mathrm{F}}_1\right(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\hfill \\ & & \Im \left(\mathrm{r}\right))+\mathsf{\varphi }\left(\mathrm{r}\right))\mathrm{d}\mathrm{r}-\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\eta }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{1}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}\hfill \\ & & ({\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))+\mathsf{\varphi }\left(\mathrm{r}\right))\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right)\hfill \\ & & {(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-2}({\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))+\mathsf{\varphi }\left(\mathrm{r}\right))\mathrm{d}\mathrm{r}-\frac{{\mathsf{\alpha }}_1(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma ({\mathsf{\beta }}_1-1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-2}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & +{\mathrm{I}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))+{\mathsf{\varphi }}_{\mathrm{i}}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)+\frac{\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}({\mathrm{J}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))+{\mathsf{\varphi }}_{\mathrm{i}}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)))-{\mathrm{a}}_1{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}}\{\frac{1}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\tau }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}\hfill \\ & & ({\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))+\mathsf{\varphi }\left(\mathrm{r}\right))\mathrm{d}\mathrm{r}-\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\tau }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{1}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right)(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\hfill \\ & & {-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}({\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))+\mathsf{\varphi }\left(\mathrm{r}\right))\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}\hfill \\ & & {\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-2}({\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))+\mathsf{\varphi }\left(\mathrm{r}\right))\mathrm{d}\mathrm{r}-\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & +{\mathrm{I}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))+{\mathsf{\varphi }}_{\mathrm{i}}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)+\frac{\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}({\mathrm{J}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))+{\mathsf{\varphi }}_{\mathrm{i}}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))\}\mathrm{d}\mathsf{\tau }-{\mathrm{a}}_2{\int }_{{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}}\{\frac{1}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\tau }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right)(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)\hfill \\ & & {-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}({\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))+\mathsf{\varphi }\left(\mathrm{r}\right))\mathrm{d}\mathrm{r}-\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\tau }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{1}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}\hfill \\ & & {\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}({\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))+\mathsf{\varphi }\left(\mathrm{r}\right))\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & +\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-2}({\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))+\mathsf{\varphi }\left(\mathrm{r}\right))\mathrm{d}\mathrm{r}-\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right)(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\hfill \\ & & {-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+{\mathrm{I}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))+{\mathsf{\varphi }}_{\mathrm{i}}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)+\frac{\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}({\mathrm{J}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))+{\mathsf{\varphi }}_{\mathrm{i}}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))\left)\right\}\mathrm{d}\mathsf{\tau }]+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{1}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}\hfill \\ & & {\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}({\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))+\mathsf{\varphi }\left(\mathrm{r}\right))\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1}{\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_1\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & +\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-2}({\mathrm{F}}_1(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))+\mathsf{\varphi }\left(\mathrm{r}\right))\mathrm{d}\mathrm{r}-\frac{{\mathsf{\alpha }}_1(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma ({\mathsf{\beta }}_1-1)}\hfill \\ & & {\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-2}\wp \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+{\mathrm{I}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))+{\mathsf{\varphi }}_{\mathrm{i}}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)+\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}({\mathrm{J}}_{\mathrm{i}}(\wp \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))+{\mathsf{\varphi }}_{\mathrm{i}}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)),\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ccc}& & \overline{\Im }\left(\mathsf{\sigma }\right)=\hfill \\ & & \frac{1}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\sigma }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1}({\mathrm{F}}_2(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))+{\mathsf{\varphi }}^{*}\left(\mathrm{r}\right))\mathrm{d}\mathrm{r}-\frac{{\mathsf{\alpha }}_2}{\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_2\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\sigma }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2-1}\hfill \\ & & \Im \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\left((\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))\right).\frac{1}{\Delta }[\frac{1}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\eta }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1}\left({\mathrm{F}}_2\right(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\hfill \\ & & \Im \left(\mathrm{r}\right))+{\mathsf{\varphi }}^{*}\left(\mathrm{r}\right))\mathrm{d}\mathrm{r}-\frac{{\mathsf{\alpha }}_2}{\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_2\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\eta }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2-1}\Im \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{1}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1}\hfill \\ & & ({\mathrm{F}}_2(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))+{\mathsf{\varphi }}^{*}\left(\mathrm{r}\right))\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_2}{\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_2\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2-1}\Im \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right)\hfill \\ & & {(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-2}({\mathrm{F}}_2(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))+{\mathsf{\varphi }}^{*}\left(\mathrm{r}\right))\mathrm{d}\mathrm{r}-\frac{{\mathsf{\alpha }}_2(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma ({\mathsf{\beta }}_2-1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2-2}\Im \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & +{\mathrm{I}}_{\mathrm{i}}^{*}(\Im \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))+{\mathsf{\varphi }}_{\mathrm{i}}^{*}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)+\frac{\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}({\mathrm{J}}_{\mathrm{i}}^{*}(\Im \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))+{\mathsf{\varphi }}_{\mathrm{i}}^{*}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))-{\mathrm{a}}_1{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}}\{\frac{1}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\tau }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1}\hfill \\ & & ({\mathrm{F}}_2(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))+{\mathsf{\varphi }}^{*}\left(\mathrm{r}\right))\mathrm{d}\mathrm{r}-\frac{{\mathsf{\alpha }}_2}{\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_2\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\tau }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2-1}\Im \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{1}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right)(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\hfill \\ & & {-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1}({\mathrm{F}}_2(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))+{\mathsf{\varphi }}^{*}\left(\mathrm{r}\right))\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_2}{\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_2\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2-1}\Im \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}\hfill \\ & & {\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-2}({\mathrm{F}}_2(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))+{\mathsf{\varphi }}^{*}\left(\mathrm{r}\right))\mathrm{d}\mathrm{r}-\frac{{\mathsf{\alpha }}_2}{\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_2\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2-1}\Im \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & +{\mathrm{I}}_{\mathrm{i}}^{*}(\Im \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))+{\mathsf{\varphi }}_{\mathrm{i}}^{*}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)+\frac{\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}({\mathrm{J}}_{\mathrm{i}}^{*}(\Im \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))+{\mathsf{\varphi }}_{\mathrm{i}}^{*}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))\}\mathrm{d}\mathsf{\tau }-{\mathrm{a}}_2{\int }_{{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}}\{\frac{1}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\tau }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right)(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)\hfill \\ & & {-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1}({\mathrm{F}}_2(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))+{\mathsf{\varphi }}^{*}\left(\mathrm{r}\right))\mathrm{d}\mathrm{r}-\frac{{\mathsf{\alpha }}_2}{\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_2\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}}^{\mathsf{\tau }}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2-1}\Im \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{1}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}\hfill \\ & & {\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1}({\mathrm{F}}_2(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))+{\mathsf{\varphi }}^{*}\left(\mathrm{r}\right))\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_2}{\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_2\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2-1}\Im \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & +\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\tau }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-2}({\mathrm{F}}_2(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))+{\mathsf{\varphi }}^{*}\left(\mathrm{r}\right))\mathrm{d}\mathrm{r}-\frac{{\mathsf{\alpha }}_2}{\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_2\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right)(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\hfill \\ & & {-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2-1}\Im \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+{\mathrm{I}}_{\mathrm{i}}^{*}(\Im \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))+{\mathsf{\varphi }}_{\mathrm{i}}^{*}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)+\frac{\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}({\mathrm{J}}_{\mathrm{i}}^{*}(\Im \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))+{\mathsf{\varphi }}_{\mathrm{i}}^{*}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\left)\right\}\mathrm{d}\mathsf{\tau }]+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{1}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}\hfill \\ & & {\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1}({\mathrm{F}}_2(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))+{\mathsf{\varphi }}^{*}\left(\mathrm{r}\right))\mathrm{d}\mathrm{r}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_2}{\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_2\right)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2-1}\Im \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}\hfill \\ & & +\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1)}{\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-2}({\mathrm{F}}_2(\mathrm{r},\wp \left(\mathrm{r}\right),\Im \left(\mathrm{r}\right))+{\mathsf{\varphi }}^{*}\left(\mathrm{r}\right))\mathrm{d}\mathrm{r}-\frac{{\mathsf{\alpha }}_2(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma ({\mathsf{\beta }}_2-1)}\hfill \\ & & {\int }_{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}}^{{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}}{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{r}\right){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left(\mathrm{r}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2-2}\Im \left(\mathrm{r}\right)\mathrm{d}\mathrm{r}+{\mathrm{I}}_{\mathrm{i}}^{*}(\Im \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))+{\mathsf{\varphi }}_{\mathrm{i}}^{*}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)+\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}({\mathrm{J}}_{\mathrm{i}}^{*}(\Im \left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))+{\mathsf{\varphi }}_{\mathrm{i}}^{*}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)).\hfill \end{array}$$

Now, as $(\wp ,\Im )$ is the solution of $\left(1\right)$ and $(\overline{\wp },\overline{\Im })$ is the solution of $\left(11\right)$. Then,

$$\begin{array}{ccc}& & |\wp \left(\mathsf{\sigma }\right)-\overline{\wp }\left(\mathsf{\sigma }\right)|\hfill \\ & \le & \frac{{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}\left({\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}||\wp -\overline{\wp }||+{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}||\Im -\overline{\Im }||+|\mathsf{\varphi }\left(\mathrm{r}\right)|\right)+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_1+1)}||\wp -\overline{\wp }||\hfill \\ & & +\left((\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))\right)\frac{1}{|\Delta |}\left[\frac{{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}\right({\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}||\wp -\overline{\wp }||\hfill \\ & & +{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}||\Im -\overline{\Im }||+|\mathsf{\varphi }\left(\mathrm{r}\right)|)+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_1+1)}||\wp -\overline{\wp }||+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}\hfill \\ & & \left({\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}||\wp -\overline{\wp }||+{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}||\Im -\overline{\Im }||+|\mathsf{\varphi }\left(\mathrm{r}\right)|\right)+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_1+1)}||\wp -\overline{\wp }||\hfill \\ & & +\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}\left({\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}||\wp -\overline{\wp }||+{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}||\Im -\overline{\Im }||+|\mathsf{\varphi }\left(\mathrm{r}\right)|\right)\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_1(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_1\right)}||\wp -\overline{\wp }|+{\mathrm{A}}_1||\wp -\overline{\wp }||+{\mathrm{A}}_2\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}\hfill \\ & & ||\wp -\overline{\wp }||)+{\mathrm{a}}_1\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+2)}\left({\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}||\wp -\overline{\wp }||+{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}||\Im -\overline{\Im }||+|\mathsf{\varphi }\left(\mathrm{r}\right)|\right)\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1+1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\Gamma ({\mathsf{\beta }}_1+2)}||\wp -\overline{\wp }||+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})\hfill \\ & & \left({\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}||\wp -\overline{\wp }||+{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}||\Im -\overline{\Im }||+|\mathsf{\varphi }\left(\mathrm{r}\right)|\right)+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})||\wp -\overline{\wp }||\hfill \\ & & +\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}\left({\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}||\wp -\overline{\wp }||+{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}||\Im -\overline{\Im }||+|\mathsf{\varphi }\left(\mathrm{r}\right)|\right)\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_1\right)}||\wp -\overline{\wp }||+{\mathrm{A}}_1||\wp -\overline{\wp }||({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})+{\mathrm{A}}_2\hfill \\ & & \frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)}||\wp -\overline{\wp }||)+{\mathrm{a}}_2\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}-{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+2)}\hfill \\ & & \left({\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}||\wp -\overline{\wp }||+{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}||\Im -\overline{\Im }||+|\mathsf{\varphi }\left(\mathrm{r}\right)|\right)+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1({(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1+1}-{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1+1})}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_1+2)}\hfill \\ & & ||\wp -\overline{\wp }||+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}-{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})\left({\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}||\wp -\overline{\wp }||+{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}||\Im -\overline{\Im }||+|\mathsf{\varphi }\left(\mathrm{r}\right)|\right)\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}-{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})||\wp -\overline{\wp }||+\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}\hfill \\ & & \left\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}-\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\right\}\left({\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}||\wp -\overline{\wp }||+{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}||\Im -\overline{\Im }||+|\mathsf{\varphi }\left(\mathrm{r}\right)|\right)\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}}{\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_1\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}\left\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}-\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\right\}||\wp -\overline{\wp }||\hfill \\ & & +{\mathrm{A}}_1||\wp -\overline{\wp }||({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}-{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})+\frac{{\mathrm{A}}_2||\wp -\overline{\wp }||}{\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}\left\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}-\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\right\}\left)\right]\hfill \\ & & +\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}\left({\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}||\wp -\overline{\wp }||+{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}||\Im -\overline{\Im }||+|\mathsf{\varphi }\left(\mathrm{r}\right)|\right)\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_1+1)}||\wp -\overline{\wp }||+\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}\hfill \\ & & \left({\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}||\wp -\overline{\wp }||+{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}||\Im -\overline{\Im }||+|\mathsf{\varphi }\left(\mathrm{r}\right)|\right)+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_1\right)}||\wp -\overline{\wp }||\hfill \\ & & +{\mathrm{A}}_1||\wp -\overline{\wp }||+{\mathrm{A}}_2\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}||\wp -\overline{\wp }||).\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ccc}& & |\wp \left(\mathsf{\sigma }\right)-\overline{\wp }\left(\mathsf{\sigma }\right)|\hfill \\ & \le & [{\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_1+1)}+\left((\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))\right)\frac{1}{|\Delta |}\{\hfill \\ & & {\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_1+1)}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}({\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_1+1)}+{\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}+{\mathrm{A}}_1+{\mathrm{A}}_2\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_1(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_1\right)})+{\mathrm{a}}_1{\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+2)}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1+1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\Gamma ({\mathsf{\beta }}_1+2)}\hfill \\ & & +\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}({\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})\hfill \\ & & +{\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_1\right)}\hfill \\ & & +{\mathrm{A}}_1({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})+{\mathrm{A}}_2\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)})+{\mathrm{a}}_2{\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}-{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+2)}\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_1({(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1+1}-{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1+1})}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_1+2)}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}({\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\hfill \\ & & -{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}-{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})+{\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}\hfill \\ & & -\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}}{\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_1\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}\left\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}-\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\right\}\hfill \\ & & +{\mathrm{A}}_1({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}-{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})+\frac{{\mathrm{A}}_2}{\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}\left\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}-\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\right\}\left)\right\}\hfill \\ & & +\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}({\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_1+1)}\hfill \\ & & +{\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_1\right)}+{\mathrm{A}}_1\hfill \\ & & +{\mathrm{A}}_2\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}\left)\right]||\mathrm{x}-\overline{\mathrm{x}}||+[{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}+\left((\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))\right)\hfill \\ & & \frac{1}{|\Delta |}\{{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}({\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}\hfill \\ & & +{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)})+{\mathrm{a}}_1{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+2)}\hfill \\ & & +\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}\left({\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})+{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}\right)\hfill \\ & & +{\mathrm{a}}_2{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}-{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+2)}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}({\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}\hfill \\ & & ({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}-{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})+{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}\left\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}-\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\right\}\left)\right\}\hfill \\ & & +\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}\left({\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}+{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}\right)]||\mathrm{y}-\overline{\mathrm{y}}||\hfill \\ & & +[\frac{{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}+\left((\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))\right)\frac{1}{|\Delta |}\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}\hfill \\ & & +\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}\left(\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}+\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}\right)+{\mathrm{a}}_1\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+2)}\hfill \\ & & +\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}\left(\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})+\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}\right)\hfill \\ & & +{\mathrm{a}}_2\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}-{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+2)}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\hfill \\ & & -{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})+\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}\left\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}-\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\right\}\left)\right\}\hfill \\ & & +\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}\left(\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}+\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}\right)]{\mathsf{ϵ}}_1.\hfill \end{array}$$

Let

$$\begin{array}{ccc}& & {\mathsf{\omega }}_1=\hfill \\ & & [{\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_1+1)}+\left((\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))\right)\frac{1}{|\Delta |}\{{\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}\hfill \\ & & \frac{{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_1+1)}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}({\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_1+1)}\hfill \\ & & +{\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_1\right)}+{\mathrm{A}}_1\hfill \\ & & +{\mathrm{A}}_2\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)})+{\mathrm{a}}_1{\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+2)}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1+1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\Gamma ({\mathsf{\beta }}_1+2)}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}({\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}\hfill \\ & & \frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})\hfill \\ & & +{\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_1\right)}+{\mathrm{A}}_1({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})\hfill \\ & & +{\mathrm{A}}_2\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)})+{\mathrm{a}}_2{\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}-{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+2)}\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_1({(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1+1}-{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1+1})}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_1+2)}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}({\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}-{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}-{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})+{\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}\hfill \\ & & -\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}}{\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_1\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}\left\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}-\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\right\}+{\mathrm{A}}_1\hfill \\ & & ({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}-{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})+\frac{{\mathrm{A}}_2}{\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}\left\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}-\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\right\}\left)\right\}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}({\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_1{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_1+1)}+{\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_1(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_1\right)}+{\mathrm{A}}_1+{\mathrm{A}}_2\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}\left)\right],\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ccc}& & {\mathsf{\omega }}_2=\hfill \\ & & [{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}+\left((\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))\right)\frac{1}{|\Delta |}\{{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}\hfill \\ & & +\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}\left({\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}+{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}\right)+{\mathrm{a}}_1{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}\hfill \\ & & \frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+2)}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}({\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})+{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}\hfill \\ & & \frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)})+{\mathrm{a}}_2{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}-{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+2)}\hfill \\ & & +\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}({\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}-{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})+{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}-\hfill \\ & & \frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\left\}\right)\}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}\left({\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}+{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_1}\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}\right)],\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ccc}& & {\mathsf{\omega }}_3=\hfill \\ & & [\frac{{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}+\left((\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))\right)\frac{1}{|\Delta |}\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}\hfill \\ & & +\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}\left(\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}+\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}\right)+{\mathrm{a}}_1\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+2)}\hfill \\ & & +\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}\left(\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})+\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}\right)\hfill \\ & & +{\mathrm{a}}_2\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}-{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+2)}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}-{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})\hfill \\ & & +\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}\left\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}-\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\right\}\left)\right\}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1+1)}\hfill \\ & & +\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_1+{\mathsf{\beta }}_1)}\left)\right].\hfill \end{array}$$

Then,

$$\begin{array}{c}\hfill ||\wp -\overline{\wp }||\le {\mathsf{\omega }}_1||\wp -\overline{\wp }||+{\mathsf{\omega }}_2||\Im -\overline{\Im }||+{\mathsf{\omega }}_3{\mathsf{ϵ}}_1.\end{array}$$

Similarly,

$$\begin{array}{c}\hfill ||\Im -\overline{\Im }||\le {\mathsf{\omega }}_4||\wp -\overline{\wp }||+{\mathsf{\omega }}_5||\Im -\overline{\Im }||+{\mathsf{\omega }}_6{\mathsf{ϵ}}_2,\end{array}$$

where

$$\begin{array}{ccc}& & {\mathsf{\omega }}_4=\hfill \\ & & [{\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_2}\frac{{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1)}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_2{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2}}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_2+1)}+\left((\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))\right)\frac{1}{|\Delta |}\{{\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_2}\hfill \\ & & \frac{{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1)}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_2{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2}}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_2+1)}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}({\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_2}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1)}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_2{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2}}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_2+1)}\hfill \\ & & +{\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_2}\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_2(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_2\right)}+{\mathrm{A}}_3\hfill \\ & & +{\mathrm{A}}_4\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)})+{\mathrm{a}}_1{\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_2}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+2)}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_2{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2+1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\Gamma ({\mathsf{\beta }}_2+2)}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}({\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_2}\hfill \\ & & \frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1)}({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})+\frac{{\mathsf{\alpha }}_2{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2}}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_2+1)}({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})\hfill \\ & & +{\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_2}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1}{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_2{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2-1}{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_2\right)}\hfill \\ & & +{\mathrm{A}}_3({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})+{\mathrm{A}}_4\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)})+{\mathrm{a}}_2{\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_2}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1}-{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+2)}\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_2({(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2+1}-{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2+1})}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_2+2)}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}({\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_2}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1)}({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}-{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})\hfill \\ & & +\frac{{\mathsf{\alpha }}_2{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2}}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_2+1)}({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}-{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})+{\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_2}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}\hfill \\ & & -\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_2{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2-1}}{\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_2\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}\left\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}-\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\right\}+{\mathrm{A}}_3({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\hfill \\ & & -{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})+\frac{{\mathrm{A}}_4}{\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}\left\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}-\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\right\}\left)\right\}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}({\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_2}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1)}+\hfill \\ & & \frac{{\mathsf{\alpha }}_2{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2}}{\Gamma ({\mathsf{\beta }}_2+1)}+{\mathrm{M}}_{{\mathrm{f}}_2}\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}+\frac{{\mathsf{\alpha }}_2(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\beta }}_2-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma \left({\mathsf{\beta }}_2\right)}\hfill \\ & & +{\mathrm{A}}_3+{\mathrm{A}}_4\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)}\left)\right],\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ccc}& & {\mathsf{\omega }}_5=\hfill \\ & & [{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_2}\frac{{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1)}+\left((\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))\right)\frac{1}{|\Delta |}\{{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_2}\frac{{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1)}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}({\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_2}\hfill \\ & & \frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1)}+{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_2}\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)})+{\mathrm{a}}_1{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_2}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+2)}\hfill \\ & & +\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}\left({\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_2}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1)}({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})+{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_2}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_1-1}{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}\right)+{\mathrm{a}}_2{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_2}\hfill \\ & & \frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1}-{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+2)}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}({\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_2}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1)}({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}-{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})\hfill \\ & & +{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_2}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}\left\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}-\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\right\}\left)\right\}\hfill \\ & & +\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}\left({\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_2}\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1)}+{\mathrm{N}}_{{\mathrm{f}}_2}\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}\right)],\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ccc}& & {\mathsf{\omega }}_6=\hfill \\ & & [\frac{{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1)}+\left((\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))\right)\frac{1}{|\Delta |}\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1)}\hfill \\ & & +\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}\left(\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1)}+\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\eta }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}\right)+{\mathrm{a}}_1\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+2)}\hfill \\ & & +\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}\left(\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1)}({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}-{\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}})+\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1}{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right){\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}\right)\hfill \\ & & +{\mathrm{a}}_2\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1}-{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+2)}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1)}({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}-{\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1})\hfill \\ & & +\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}\left\{\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{k}+1}\right)}-\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right))}^2}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\delta }}_{2\mathrm{k}+1}\right)}\right\}\left)\right\}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{p}}(\frac{{(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2}}{\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2+1)}\hfill \\ & & +\frac{(\mathsf{\psi }\left(\mathsf{\sigma }\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)){(\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)-\mathsf{\psi }\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}-1}\right))}^{{\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2-1}}{{\mathsf{\psi }}^{{}^{\prime }}\left({\mathsf{\sigma }}_{\mathrm{i}}\right)\Gamma ({\mathsf{\gamma }}_2+{\mathsf{\beta }}_2)}\left)\right].\hfill \end{array}$$

Now, let $max\{{\mathsf{ϵ}}_1,{\mathsf{ϵ}}_2\}=\mathsf{ϵ}$ and $max\{{\mathsf{\omega }}_1,{\mathsf{\omega }}_2,{\mathsf{\omega }}_4,{\mathsf{\omega }}_5\}=\mathsf{\omega }$. Then,

$$\begin{array}{c}\hfill ||\wp -\overline{\wp }||+||\Im -\overline{\Im }||\le \mathsf{\omega }(||\wp -\overline{\wp }||+||\Im -\overline{\Im }||)+({\mathsf{\omega }}_3+{\mathsf{\omega }}_6)\mathsf{ϵ}.\end{array}$$

$$\begin{array}{c}\hfill ||\wp -\overline{\wp }||+||\Im -\overline{\Im }||\le \frac{{\mathsf{\omega }}_3+{\mathsf{\omega }}_6}{1-\mathsf{\omega }}\mathsf{ϵ}.\end{array}$$

Let

$$\begin{array}{c}\hfill \mathsf{\vartheta }=\frac{{\mathsf{\omega }}_3+{\mathsf{\omega }}_6}{1-\mathsf{\omega }}.\end{array}$$

Hence, we have

$$\begin{array}{c}\hfill ||(\wp ,\Im )-(\overline{\wp },\overline{\Im }){||}_{{\mathrm{X}}^{{}^{\prime }}\times {\mathrm{Y}}^{{}^{\prime }}}\le \mathsf{\vartheta }\mathsf{ϵ}.\end{array}$$

Thus, system $\left(1\right)$ is UH stable. □

6. Example

Example 1. 

$$\begin{array}{ccc}\hfill {}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}^{\frac{5}{3};\wp }({}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}^{\frac{1}{3};\wp }+\frac{1}{130})\wp \left(\mathsf{\sigma }\right)& =& \frac{\wp }{220(1+\Im (\mathsf{\sigma }\left)\right)},\mathsf{\sigma }\in [0,1],\mathsf{\sigma }\ne \frac{2}{3},\hfill \\ \hfill {}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}^{\frac{7}{5};\Im }({}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}^{\frac{1}{3};\Im }+\frac{1}{310})\Im \left(\mathsf{\sigma }\right)& =& \frac{cos\left(\mathsf{\sigma }\right)\Im }{330(1+\wp )},\mathsf{\sigma }\in [0,1],\mathsf{\sigma }\ne \frac{2}{3},\hfill \\ \hfill {\mathrm{I}}_1\wp \left(\frac{2}{3}\right)& =& \frac{\wp \left(\mathsf{\sigma }\right)}{150+(|\wp \left(\mathsf{\sigma }\right)|)},{\mathrm{J}}_1\wp \left(\frac{2}{3}\right)=\frac{\wp \left(\mathsf{\sigma }\right)}{160+(|\wp \left(\mathsf{\sigma }\right)|)},\hfill \\ \hfill {\mathrm{I}}_1^{*}\Im \left(\frac{2}{3}\right)& =& \frac{1}{170+|\Im (\mathsf{\sigma })|},{\mathrm{J}}_1^{*}\Im \left(\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{180+|\Im (\mathsf{\sigma })|},\hfill \\ \hfill \wp \left(0\right)=0,\wp \left(\frac{9}{10}\right)& =& \frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{2}{5}}\wp \left(\mathsf{\tau }\right)\mathrm{d}\mathsf{\tau }+\frac{9}{10}{\int }_{\frac{3}{5}}^{\frac{7}{10}}\wp \left(\mathsf{\tau }\right)\mathrm{d}\mathsf{\tau },\hfill \\ \hfill \Im \left(0\right)=0,\Im \left(\frac{1}{2}\right)& =& \frac{9}{10}{\int }_0^{\frac{2}{5}}\Im \left(\mathsf{\tau }\right)\mathrm{d}\mathsf{\tau }+\frac{9}{10}{\int }_{\frac{3}{5}}^{\frac{7}{10}}\Im \left(\mathsf{\tau }\right)\mathrm{d}\mathsf{\tau }.\hfill \end{array}$$

We see in the proposed problem that ${\mathsf{\beta }}_1={\mathsf{\beta }}_2=\frac{1}{3}$, ${\mathsf{\gamma }}_1=\frac{5}{3}$, ${\mathsf{\gamma }}_2=\frac{7}{5}$, $\mathsf{\eta }=\frac{1}{2}$ and ${\mathrm{a}}_1={\mathrm{a}}_2=\frac{9}{10}.$

$$\begin{array}{ccc}\hfill |{\mathrm{F}}_1(\mathsf{\sigma },\wp \left(\mathsf{\sigma }\right),\Im \left(\mathsf{\sigma }\right))-{\mathrm{F}}_1(\mathsf{\sigma },\overline{\wp }\left(\mathsf{\sigma }\right),\overline{\Im }\left(\mathsf{\sigma }\right))|& \le & \frac{1}{220}|\wp \left(\mathsf{\sigma }\right)-\overline{\wp }\left(\mathsf{\sigma }\right)|+\frac{1}{220}|\Im \left(\mathsf{\sigma }\right)-\overline{\Im }\left(\mathsf{\sigma }\right)|,\forall \mathsf{\sigma }\in [0,\mathrm{e}],\hfill \\ \hfill |{\mathrm{F}}_2(\mathsf{\sigma },\wp \left(\mathsf{\sigma }\right),\Im \left(\mathsf{\sigma }\right))-{\mathrm{F}}_2(\mathsf{\sigma },\overline{\wp }\left(\mathsf{\sigma }\right),\overline{\Im }\left(\mathsf{\sigma }\right))|& \le & \frac{\mathsf{\pi }}{330}|\wp \left(\mathsf{\sigma }\right)-\overline{\wp }\left(\mathsf{\sigma }\right)|+\frac{1}{330}|\Im \left(\mathsf{\sigma }\right)-\overline{\Im }\left(\mathsf{\sigma }\right)|,\hfill \\ \hfill |{\mathrm{I}}_1\wp \left(\frac{3}{5}\right)-{\mathrm{I}}_1\overline{\wp }\left(\frac{3}{5}\right)|& \le & \frac{1}{150}|\wp \left(\mathsf{\sigma }\right)-\overline{\wp }\left(\mathsf{\sigma }\right)|,\hfill \\ \hfill |{\mathrm{J}}_1\wp \left(\frac{3}{5}\right)-{\mathrm{J}}_1\overline{\wp }\left(\frac{3}{5}\right)|& \le & \frac{1}{160}|\wp \left(\mathsf{\sigma }\right)-\overline{\wp }\left(\mathsf{\sigma }\right)|,\hfill \\ \hfill |{\mathrm{I}}_1^{*}\Im \left(\frac{3}{5}\right)-{\mathrm{I}}_1^{*}\overline{\Im }\left(\frac{3}{5}\right)|& \le & \frac{1}{170}|\Im \left(\mathsf{\sigma }\right)-\overline{\Im }\left(\mathsf{\sigma }\right)|,\hfill \\ \hfill |{\mathrm{J}}_1^{*}\Im \left(\frac{3}{5}\right)-{\mathrm{J}}_1^{*}\overline{\Im }\left(\frac{3}{5}\right)|& \le & \frac{1}{180}|\Im \left(\mathsf{\sigma }\right)-\overline{\Im }\left(\mathsf{\sigma }\right)|.\hfill \end{array}$$

From the above inequalities, we obtain that ${\mathrm{M}}_{{\mathrm{F}}_1}=\frac{1}{220},{\mathrm{N}}_{{\mathrm{F}}_1}=\frac{1}{220},{\mathrm{M}}_{{\mathrm{F}}_2}=\frac{\mathsf{\pi }}{330},{\mathrm{N}}_{{\mathrm{F}}_2}=\frac{\mathsf{\pi }}{330},{\mathrm{A}}_1=\frac{1}{150},$${\mathrm{A}}_2=\frac{1}{160},{\mathrm{A}}_3=\frac{1}{170},{\mathrm{A}}_4=\frac{1}{180}.$ On calculating ${\mathsf{\Omega }}_1$, ${\mathsf{\Omega }}_2$, ${\mathsf{\Omega }}_3$ and ${\mathsf{\Omega }}_4$, we have ${\mathsf{\Omega }}_1=0.268317<1$, ${\mathsf{\Omega }}_2=0.173521<1$, ${\mathsf{\Omega }}_3=0.321975<1$ and ${\mathsf{\Omega }}_4=0.576319<1$. Then, $max\{{\mathsf{\Omega }}_1,{\mathsf{\Omega }}_2,{\mathsf{\Omega }}_3,{\mathsf{\Omega }}_4\}<1$, and the coupled system (1) has a unique solution.

Furthermore, on calculating $\mathsf{\vartheta }=47.29356436833$ and $\mathsf{ϵ}=0.01276$, we get $\mathsf{\vartheta }\mathsf{ϵ}=0.60346588134$$>0$. Therefore, the coupled system (1) is Ulam–Hyers stable.

Example 2. 

$$\begin{array}{ccc}\hfill {}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}^{\frac{4}{3};{\mathrm{e}}^{\wp }}({}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}^{\frac{1}{2};{\mathrm{e}}^{\wp }}+\frac{1}{110})\wp \left(\mathsf{\sigma }\right)& =& \frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\wp +\Im )}{360\left(\mathrm{l}\mathrm{n}\right(\mathsf{\sigma })+1)},\mathsf{\sigma }\in [0,1],\mathsf{\sigma }\ne \frac{3}{5},\hfill \\ \hfill {}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}^{\frac{5}{4};{\mathrm{e}}^{\Im }}({}^{\mathrm{c}}{\mathcal{D}}^{\frac{1}{2};{\mathrm{e}}^{\Im }}+\frac{1}{210})\Im \left(\mathsf{\sigma }\right)& =& \frac{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\left(\mathsf{\sigma }\right)}{450+|\wp +\Im |},\mathsf{\sigma }\in [0,1],\mathsf{\sigma }\ne \frac{3}{5},\hfill \\ \hfill {\mathrm{I}}_1\wp \left(\frac{3}{5}\right)& =& \frac{1}{420+|\wp (\mathsf{\sigma })|},{\mathrm{J}}_1\wp \left(\frac{3}{5}\right)=\frac{1}{550+|\wp (\mathsf{\sigma })|},\hfill \\ \hfill {\mathrm{I}}_1^{*}\Im \left(\frac{3}{5}\right)& =& \frac{1}{880+|\Im (\mathsf{\sigma })|},{\mathrm{J}}_1^{*}\Im \left(\frac{3}{5}\right)=\frac{1}{910+|\Im (\mathsf{\sigma })|},\hfill \\ \hfill \wp \left(0\right)=0,\wp \left(\frac{1}{3}\right)& =& {\int }_0^{\frac{1}{4}}\wp \left(\mathsf{\tau }\right)\mathrm{d}\mathsf{\tau }+{\int }_{\frac{1}{2}}^{\frac{2}{3}}\wp \left(\mathsf{\tau }\right)\mathrm{d}\mathsf{\tau },\hfill \\ \hfill \Im \left(0\right)=0,\Im \left(\frac{1}{3}\right)& =& {\int }_0^{\frac{1}{4}}\Im \left(\mathsf{\tau }\right)\mathrm{d}\mathsf{\tau }+{\int }_{\frac{1}{2}}^{\frac{2}{3}}\Im \left(\mathsf{\tau }\right)\mathrm{d}\mathsf{\tau }.\hfill \end{array}$$

We see in the proposed problem that ${\mathsf{\beta }}_1={\mathsf{\beta }}_2=\frac{1}{2}$, ${\mathsf{\gamma }}_1=\frac{4}{3}$, ${\mathsf{\gamma }}_2=\frac{5}{4}$, $\mathsf{\eta }=\frac{1}{3}$ and ${\mathrm{a}}_1={\mathrm{a}}_2=1.$

$$\begin{array}{ccc}\hfill |{\mathrm{F}}_1(\mathsf{\sigma },\wp \left(\mathsf{\sigma }\right),\Im \left(\mathsf{\sigma }\right))-{\mathrm{F}}_1(\mathsf{\sigma },\overline{\wp }\left(\mathsf{\sigma }\right),\overline{\Im }\left(\mathsf{\sigma }\right))|& \le & \frac{1}{360}|\wp \left(\mathsf{\sigma }\right)-\overline{\wp }\left(\mathsf{\sigma }\right)|+\frac{1}{360}|\Im \left(\mathsf{\sigma }\right)-\overline{\Im }\left(\mathsf{\sigma }\right)|,\forall \mathsf{\sigma }\in [0,\mathrm{e}],\hfill \\ \hfill |{\mathrm{F}}_2(\mathsf{\sigma },\wp \left(\mathsf{\sigma }\right),\Im \left(\mathsf{\sigma }\right))-{\mathrm{F}}_2(\mathsf{\sigma },\overline{\wp }\left(\mathsf{\sigma }\right),\overline{\Im }\left(\mathsf{\sigma }\right))|& \le & \frac{\mathsf{\pi }}{450}|\wp \left(\mathsf{\sigma }\right)-\overline{\wp }\left(\mathsf{\sigma }\right)|+\frac{\mathsf{\pi }}{450}|\Im \left(\mathsf{\sigma }\right)-\overline{\Im }\left(\mathsf{\sigma }\right)|,\hfill \\ \hfill |{\mathrm{I}}_1\wp \left(\frac{3}{5}\right)-{\mathrm{I}}_1\overline{\wp }\left(\frac{3}{5}\right)|& \le & \frac{1}{420}|\wp \left(\mathsf{\sigma }\right)-\overline{\wp }\left(\mathsf{\sigma }\right)|,\hfill \\ \hfill |{\mathrm{J}}_1\wp \left(\frac{3}{5}\right)-{\mathrm{J}}_1\overline{\wp }\left(\frac{3}{5}\right)|& \le & \frac{1}{550}|\wp \left(\mathsf{\sigma }\right)-\overline{\wp }\left(\mathsf{\sigma }\right)|,\hfill \\ \hfill |{\mathrm{I}}_1^{*}\Im \left(\frac{3}{5}\right)-{\mathrm{I}}_1^{*}\overline{\Im }\left(\frac{3}{5}\right)|& \le & \frac{1}{880}|\Im \left(\mathsf{\sigma }\right)-\overline{\Im }\left(\mathsf{\sigma }\right)|,\hfill \\ \hfill |{\mathrm{J}}_1^{*}\Im \left(\frac{3}{5}\right)-{\mathrm{J}}_1^{*}\overline{\Im }\left(\frac{3}{5}\right)|& \le & \frac{1}{910}|\Im \left(\mathsf{\sigma }\right)-\overline{\Im }\left(\mathsf{\sigma }\right)|.\hfill \end{array}$$

From the above inequalities, we obtain that ${\mathrm{M}}_{{\mathrm{F}}_1}=\frac{1}{360},{\mathrm{N}}_{{\mathrm{F}}_1}=\frac{1}{360},{\mathrm{M}}_{{\mathrm{F}}_2}=\frac{\mathsf{\pi }}{450},{\mathrm{N}}_{{\mathrm{F}}_2}=\frac{\mathsf{\pi }}{450},{\mathrm{A}}_1=\frac{1}{420},$${\mathrm{A}}_2=\frac{1}{550},{\mathrm{A}}_3=\frac{1}{880},{\mathrm{A}}_4=\frac{1}{910}.$ On calculating ${\mathsf{\Omega }}_1$, ${\mathsf{\Omega }}_2$, ${\mathsf{\Omega }}_3$ and ${\mathsf{\Omega }}_4$, we have ${\mathsf{\Omega }}_1=0.177405<1$, ${\mathsf{\Omega }}_2=0.04251<1$, ${\mathsf{\Omega }}_3=0.169955<1$ and ${\mathsf{\Omega }}_4=0.09639<1$. Then, $max\{{\mathsf{\Omega }}_1,{\mathsf{\Omega }}_2,{\mathsf{\Omega }}_3,{\mathsf{\Omega }}_4\}<1$, and the coupled system (1) has a unique solution.

Furthermore, on calculating $\mathsf{\vartheta }=32.71784770711$ and $\mathsf{ϵ}=0.002385$, we get $\mathsf{\vartheta }\mathsf{ϵ}=0.07803206678>0$. Therefore, the coupled system (1) is Ulam–Hyers stable.

7. Conclusions

The existence of a unique solution to a coupled system of Langevin fractional problems of $\mathsf{\psi }$-Caputo fractional derivatives with generalized slit-strip-type integral boundary conditions and impulses was examined. We have used Schaefer’s fixed point theorem for the existence of at least one solution to our proposed problem. We applied the Banach contraction principle to ensure that the solution of the proposed problem was unique. Additionally, we investigated the Ulam–Hyers stability of the suggested problem. The Ulam–Hyers stability guarantees that we can achieve an exact distinction for any approximation in a given region, allowing us to use the results in approximation theory and numerical analyses of related problems. Lastly, we presented illustrations to support the results.